Stopa matice

Stopa matice alebo diagonálny súčet alebo sled je v lineárnej algebre súčet členov na hlavnej diagonále matice. Matica musí byť štvorcová, musí mať teda n stĺpcov a n riadkov.

ZnačenieUpraviť

Stopu matice   o jednotlivých prvkoch   môžeme označiť týmito ekvivalentnými spôsobmi:

 

DefiníciaUpraviť

Majme štvorcovú maticu   nad poľom   s členmi:

 

stopu tejto matice definujeme nasledujúcim predpisom:

 .

VlastnostiUpraviť

Majme štvorcové matice  ,   a   nad poľom   o rovnakom rozmere  × . Potom platia nasledujúce vlastnosti:

  • Stopa reálnej alebo komplexnej matice je rovná sume jej vlastných hodnôt (zarátaných s danou násobnosťou). V charakteristickom polynóme vystupuje ako druhý koeficient. Má preto podobný význam ako determinant, ktorý je rovný súčinu vlastných hodnôt (umocnených s danou násobnosťou).
  • Stopa je lineárne zobrazenie (  a   patria poľu  ), to znamená:
 .
 
  • Z predošlej vlastnosti plynie, že stopa je invariantná voči transformáciam báze pomocou nesingulárnej matice  :
 .
  • Pre všetky reálne alebo komplexné matice rozmeru   platí:
 
  • Pre transponovanú maticu   platí: