Suprémum

(Presmerované z Supremum)
Suprémum znamená aj všeobecne jav či prvok najbližší z ďalších nasledujúcich.

Suprémum množiny reálnych čísel je číslo také, ktoré je najmenším horným ohraničením. Horné ohraničenie je číslo väčšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny . Supremum označujeme .

Najväčšie dolné ohraničenie nazývame infimum.

Definičné vlastnosti superémaUpraviť

  1. Keďže   je horným ohraničením množiny  , musí platiť   pre všetky   z množiny  .
  2.   má byť najmenším horným ohraničením. Ak ho zmenšíme o ľubovoľnú kladnú hodnotu  , dostaneme  , čo už nesmie byť horným ohraničením.

PríkladUpraviť

Majme množinu  . Ukážeme, že   je jej suprémom.

  1. Musí platiť, že  , čo je pravda pre každé prirodzené číslo  .
  2. Musí platiť, že pre každé   nebude hodnota   horným ohraničením množiny  . Teda má existovať také  , pre ktoré bude väčšie ako  . Hodnoty   môžeme zapísať ako  , takže ekvivalentne možno povedať: Má existovať také  , že  . Postupnými úpravami dospejeme k nerovnosti  , čo má určite celočíselné riešenie.