Trojčlenka
Trojčlenka je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny v závislosti od veličiny podľa vzorca , pričom je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny a sú v priamej úmere. Ich podiel sa rovná konštante . Ak sa veličina zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina .
Úlohy
upraviťRiešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.
Metóda postupného výpočtu
upraviťDve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky? Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy. Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje konzervy. Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia konzerv.
Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.
Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.
Trojčlenka v nepriamej úmernosti
upraviťTrojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina závisí od veličiny , podľa vzorca, kde je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).
Tým je povedané, že veličiny a sú nepriamo úmerné. Ich súčin je konštantný. Ak sa veličina zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina .
Príklad na nepriamu úmernosť.
upraviť3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov? Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny). Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje h. Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje . Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.
Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.
Zložená trojčlenka
upraviťZložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami a . V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami a . Hľadanou hodnotou je vždy .
Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:
- 1. vzťah medzi hodnotami oboch veličín
- 2. výsledok pre jednotku
- 3. dopočítanie údajov v druhej dvojici
Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:
- 1. vzťah medzi hodnotami troch veličín
- 2. výsledok pre jednotku odpovedajúcej
- 3. výsledok pre jednotku odpovedajúcej
- 4. dopočítanie druhej dvojice z
- 5. dopočítanie druhej dvojice
V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame , prípadne , čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom . Rozdiel spočíva v tom, že páry a , a , a sú priamo čí nepriamo úmerné.
Príklad 1)
upraviť5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?
- Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí
- Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, žemle
- Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, žemle
- Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, žemle
- Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky, žemlí
Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.
Príklad 2)
upraviť5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?
- Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín
- Krok 2: 1 kniha, 5 strojov, hodín
- Krok 3: 1 kniha, 1 stroj, hodín
- Krok 4: 1 kniha, 2 stroje, hodín
- Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje, hodín
Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.
Príklad 3)
upraviť3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?
- Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov, hodín
- Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov, hodín
- Krok 3: 1 osoba, 1 riadok, hodiny
- Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov, hodiny
- Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov, hodiny
Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.
Príklad 4)
upraviť3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?
- Krok 1: 3 robotníci, 8 h, dni
- Krok 2: 1 robotník, 8 h, dni
- Krok 3: 1 robotník, 1 h, dni
- Krok 4: 1 robotník, 2 h, dni
- Krok 5: 9 robotníkov, 2 h, dni
Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.
Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné. V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.
Literatúra
upraviť- K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: Kompendium matematiky Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90