Trojčlenka

Trojčlenka je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny v závislosti od veličiny podľa vzorca , pričom je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny a sú v priamej úmere. Ich podiel sa rovná konštante . Ak sa veličina zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina .

ÚlohyUpraviť

Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

Metóda postupného výpočtuUpraviť

Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky? Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy. Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje   konzervy. Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia   konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

Trojčlenka v nepriamej úmernostiUpraviť

Trojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina   závisí od veličiny  ,   podľa vzorca, kde   je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny   a   sú nepriamo úmerné. Ich súčin   je konštantný. Ak sa veličina   zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina  .

Príklad na nepriamu úmernosť.Upraviť

3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov? Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny). Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje   h. Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje  . Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

Zložená trojčlenkaUpraviť

Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami   a  . V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami   a  . Hľadanou hodnotou je vždy  .

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:

1.   vzťah medzi hodnotami oboch veličín
2.   výsledok pre jednotku
3.   dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

1.   vzťah medzi hodnotami troch veličín
2.   výsledok pre jednotku odpovedajúcej  
3.   výsledok pre jednotku odpovedajúcej  
4.   dopočítanie druhej dvojice z  
5.   dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame  , prípadne  , čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom  . Rozdiel spočíva v tom, že páry   a  ,   a  ,   a   sú priamo čí nepriamo úmerné.

Príklad 1)Upraviť

5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?

Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí
Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky,   žemle
Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky,   žemle
Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky,   žemle
Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky,   žemlí

Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

Príklad 2)Upraviť

5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?

Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín
Krok 2: 1 kniha, 5 strojov,   hodín
Krok 3: 1 kniha, 1 stroj,   hodín
Krok 4: 1 kniha, 2 stroje,   hodín
Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje,   hodín

Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

Príklad 3)Upraviť

3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?

Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov,   hodín
Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov,   hodín
Krok 3: 1 osoba, 1 riadok,   hodiny
Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov,   hodiny
Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov,   hodiny

Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

Príklad 4)Upraviť

3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

Krok 1: 3 robotníci, 8 h,   dni
Krok 2: 1 robotník, 8 h,   dni
Krok 3: 1 robotník, 1 h,   dni
Krok 4: 1 robotník, 2 h,   dni
Krok 5: 9 robotníkov, 2 h,   dni

Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné. V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

LiteratúraUpraviť

  • K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: Kompendium matematiky Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

Pozri ajUpraviť