Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)

Absolútna hodnota reálneho čísla x je hodnota x s odstráneným znamienkom. Takže napríklad 3 je absolútnou hodnotou čísla 3, ale aj -3. V matematike sa absolútna hodnota zapisuje ako $y=|x|$. V informatike a v matematike pri použití absolútnej hodnoty ako funkcie je bežnejší zápis $y={\mbox{abs}}(x)$.

Graf funkcie absolútnej hodnoty reálnych čísel

Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a od nuly. Pri takomto pohľade vyplynie i definícia absolútnej hodnoty komplexného čisla.

Reálne čísla

Pre každé reálne číslo a je jeho absolútna hodnota $|a|$ rovná:

$|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{ak }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{ak }}a<0\end{cases}}$

Ako je možné z uvedenej definície vidieť, absolútna hodnota bude vždy kladná alebo nulová, nikdy záporná.

Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a na reálnej osi od nuly, alebo všeobecnejšie absolútna hodnota rozdielu dvoch reálnych čísel je vzdialenosť medzi nimi.

Absolútna hodnota má nasledujúce vlastnosti:

1. $|a|\geq 0$
2. $|a|=\max \left\{-a,a\right\}\,$
3. $|a|=\left|-a\right|\,$
4. $|a|={\sqrt {a^{2}}}$
5. $|ab|=|a|.|b|\,$
6. $\left|a^{n}\right|={|a|}^{n}\,$ (pre každé prirodzené n)
7. ${\bigg |}{\frac {a}{b}}{\bigg |}={\frac {|a|}{|b|}}$ (ak $b\neq 0$)
8. $|a+b|\leq |a|+|b|$ (trojuholníková nerovnosť)
9. $|a-b|\geq {\Big |}|a|-|b|{\Big |}$
10. $|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$
11. $|a|\geq b\iff a\leq -b\lor b\leq a$

Komplexné čísla

Pretože komplexné čísla netvoria usporiadanie, predchádzajúca definícia nemôže byť priamo zovšeobecnená aj na ne. Avšak vďaka tomu že platí

$|a|={\sqrt {a^{2}}}$

je možné formulovať nasledujúcu definíciu. Pre každé komplexné číslo

$z=x+iy\,$

je jeho absolútna hodnota |z| rovná

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.