Otvoriť hlavné menu

Binomická veta je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov.
Veta vychádza z kombinatoriky.

Znenie vetyUpraviť

Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y platí:
 
kde   je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom:  
Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.

Iný zápis vyzerá takto:

 

pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:

 

DôkazUpraviť

Použijeme matematickú indukciu.

  • Keď n = 0, rovnosť platí:
 
  • Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre  :
 
z indukčného predpokladu:
 
násobené číslami   a  :
 
vyjmutie   zo sumy:
 
substitúciou  :
 
vyjmutie   zo sumy:
 
zloženie dvoch súm:
 
z Pascalovho pravidla:
 
pridaním   mocniny do výrazu:
  .
Q.E.D.

PríkladyUpraviť

Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:

 
 
 
 

Newtonova binomická vetaUpraviť

Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo.
Nech je teda a reálne číslo. Potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y také, že   platí:
 
kde:

 
 , kde k > 0[1][2][3]

ReferencieUpraviť

  1. J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1 [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-12-03]. ISBN 80-8078-091-9.
  2. P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-12-03].
  3. K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky [online]. Banská Bystrica : Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-12-03]. ISBN 80-242-1227-7.

Pozri ajUpraviť