Binomická veta

Binomická veta je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov.
Veta vychádza z kombinatoriky.

Znenie vety

Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y platí:
${(x+y)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{n-k}y^{k}$
kde ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}$ je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom: ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$
Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.

Iný zápis vyzerá takto:

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+\dots +{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+\dots +{n \choose n}y^{n},$

pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:

$A_{k}={\begin{pmatrix}n\\{k-1}\end{pmatrix}}x^{n-k+1}y^{k-1}$

Dôkaz

Použijeme matematickú indukciu.

• Keď n = 0, rovnosť platí:

$(a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.$

• Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre $n=m+1$:

$(a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,$

z indukčného predpokladu:

$=a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}$

násobené číslami $a$ a $b$:

$=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}$

vyjmutie $k=0$ zo sumy:

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}$

substitúciou $j=k-1$:

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}$

vyjmutie $k=m+1$ zo sumy:

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}$

zloženie dvoch súm:

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}$

z Pascalovho pravidla:

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}$

pridaním $m+1$ mocniny do výrazu:

$=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}$ .

Q.E.D.

Príklady

Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,$

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,$

Newtonova binomická veta

Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo.
Nech je teda a reálne číslo. Potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y také, že $|{\frac {x}{y}}|<1$ platí:
${(x+y)}^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}a\\k\end{pmatrix}}x^{k}y^{a-k}$
kde:

${\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}=1$

${\begin{pmatrix}a\\k\end{pmatrix}}={\frac {a(a-1)(a-2)...(a-k+1)}{k!}}$, kde k > 0

Pozri aj

• Binomické rozdelenie
• Pascalov trojuholník
• Kombinatorika
• Multinomická veta