Dôkaz sporom

Dôkaz sporom alebo dôkaz per absurdum je dôkaz pomocou zákona reductio ad absurdum, teda dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A.

Inými slovami je dôkaz sporom toto: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Alebo slovne: Ak z nejakého predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A.

Je to obmena/špeciálna forma nepriameho dôkazu.

PríkladUpraviť

Ako príklad dokážeme, že   nie je racionálne číslo. Dokazujeme nepriamo. Predpokladáme, že   je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla   a   také, že

 

pričom   je rôzne od nuly a   a  nesúdeliteľné.

Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že  . Z nenulovosti   vyplýva  , teda číslo   je párne. Keďže   je štvorec, znamená to, že aj samo   je párne a možno ho teda vyjadriť v tvare   kde   je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom   zistíme, že  , z čoho po upravení dostaneme   ,čo znamená, že aj   je párne číslo. Znovu, keďže   je štvorec, znamená to, že aj   je párne. Takto sme dokázali, že   aj   sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že   a   sú nesúdeliteľné.

Pozri ajUpraviť

Externé odkazyUpraviť