Dvojčlen alebo binóm alebo mnohočlen s dvoma členmi je mnohočlen, ktorý má dva členy; súčet dvoch jednočlenov (monómov). Napr. . Dvojčleny a vzorce s nimi spojené patria k základným matematickým nástrojom. Dvojčleny nachádzajú uplatnenie v rôznych výpočtoch počnúc kvadratickými rovnicami až po výpočet pravdepodobnosti. S dvojčlenmi súvisia vzorce pre skrátené násobenie, ktoré sa často používajú pri úpravách rôznych algebraických výrazov. V zhode s vyššie uvedenou definíciou sú dvojčleny výrazy a , pričom a môžu byť čísla, parametre alebo algebraické výrazy.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako rozdielne môžu byť dvojčleny. , , ,

V príklade sú oba členy dvojčlenu súčiny, a to (prvý člen dvojčlenu) a (druhý člen dvojčlenu). V poslednom príklade je prvým členom výraz a druhým členom je výraz .

Stupeň dvojčlenuUpraviť

Stupňom dvojčlenu rozumieme exponent u vonkajších zátvoriek.

  ,   ,   sú dvojčleny stupňa 2.
  je dvojčlenom stupňa 3.
  je dvojčlenom stupňa 4.[1]

Dvojčleny druhého stupňaUpraviť

Vzorce skráteného násobenia uľahčujú počítanie s mnohočlenmi druhého stupňa i stupňov vyšších. Najznámejšie sú vzorce týkajúce sa dvojčlenov druhého stupňa, ktoré pracovne nazveme prvým, druhám a tretím vzorcom. Obecný vzorec pre výpočet dvojčlenu n-t=ho stupňa nachádza uplatnenie vo formulácii a riešení obecnejších matematických problémov. Tri zmienené vzorce:

  prvý vzorec
  druhý vzorec
  tretí vzorec

Prvé dva vzorce skráteného násobenia sä v zásade vzorcom jediným, stačí v druhom vzorci zapísať výraz   v tvare   a na tento tvar použíť prvý vzorec skráteného nasobenia. Dostávame:

 

Realizácia počtových výkonov obvyklym spôsobom vyjasní, ako uvedené vzorce vznikli:

  zápis druhej mocniny ako súčinu
  vynásobenie hodnôt v zátvorkách (roznásobenie zátvoriek)
  sčítanie odpovedajúcich členov
  prvý vzorec

Analogicky pre druhý vzorec:

  zápis druhej mocniny ako súčinu
  vynásobenie hodnôt v zátvorkách
  sčítanie odpovedajúcich členov
  druhý vzorec

Tretí vzorec odvodíme následovne:

  vynásobenie hodnôt v zátvorkách
  sčítanie odpovedajúcich členov
  tretí vzorec

Porovnanie prvého riadku výpočtu tretieho vzorca s druhými riadkami výpočtu prvého a druhého vzorca ukazuje všetky možné kombinácie znamienok v zátvorkách, ktoré sa môžu vyskytnúť.[1]

Dvojčleny vyšších stupňovUpraviť

 
 

Vyššie uvedené vzorce odvodíme podobne ako prví až tretí vzorec. O výraze na pravej strane uvedených rovností hovoríme ako o rozvoji dvojčlenu.

Činitele pred jednotlivými výrazmi  , , ,  ,   (jednočleny) nazývame binomické koeficienty (koeficienty dvojčlenu, napr. koeficient   pred  , koeficient   pred   a pod.

Ak zapíšeme rozvoj dvojčlena   so všetkými exponentami členov   a  , dostávame

 

Všimnite si:

1. Najvyšší exponent základu   i   je rovný stupni dvojčlenu, v tomto prípade  .
2. Exponent základu   sa v každom nasledujúcom sčítanci znižuje o  , od   v prvom sčítanci až na   v poslednom sčítanci.
3. Exponent základu   sa v každom nasledujúcom sčítanci zvyšuje o  , od   v prvom sčítanci až na   v sčítanci poslednom.

Vzorce pre dvojčleny   dostaneme tak, že člen b nahradíme výrazom  . Pre dvojčlen tretieho stupňa dostávame

 

Podobne v prípade dvojčlena štvrtého stupňa

 

Všimnime si, že členy obsahujúce nepárne mocniny základu (-b) majú záporné koeficienty, takže sa odčítajú.[1]

ReferencieUpraviť

  1. a b c K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-08-08]. ISBN 80-242-1227-7.

Pozri ajUpraviť