Fourierova transformácia

Fourierova transformácia pri spracovaní signálov slúži na transformáciu z časovej oblasti, do oblasti frekvenčnej. Je vyjadrením časovo závislého signálu pomocou harmonických signálov, t. j. funkcií sínus a kosínus. Signál môže byť buď v spojitom alebo diskrétnom čase.

Definícia

Fourierova transformácia $S(\omega )$ funkcie $s(t)$ je definovaná integrálnym vzťahom

$S(i\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-\imath \omega t}\,dt$

Funkciu $s(t)$ vypočítame z $S(\omega )$ pomocou inverznej Fourierovej transformácie

$s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }S(i\omega )e^{\imath \omega t}\,d\omega$

Nevlastné integrály chápeme v zmysle Cauchyho hlavnej hodnoty, t. j.

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }[.]\,d=\lim _{T\to \infty }\int \limits _{-T}^{T}[.]\,d$

Dvojice vo Fourierovej transformácii sa nazývajú originál (v tomto prípade $s(t)$) a obraz ($S(\omega )$). Vzťah medzi originálom a obrazom vyjadrujeme zápisom

$S(\omega )={\mathcal {F}}[s(t)]$ a $s(t)={\mathcal {F}}^{-1}[S(\omega )]$.

V technickej oblasti je $\omega$ uhlová rýchlosť, $S(\omega )$ predstavuje spektrum signálu $s(t)$.

Spektrum je komplexná veličina a možno ju vyjadriť v tvare $S(\omega )=\left|S(\omega )\right|e^{i\mathrm {arg} \,S(\omega )}$. Veľkosť $\left|S(\omega )\right|$ sa nazýva amplitúdové spektrum a uhol ${\mbox{arg}}\,S(\omega )$ fázové spektrum signálu.

Externé odkazy

• Diskrétna Fourierova transformácia .