Metrický priestor

(Presmerované z Metrika (matematika))

Metrický priestor je matematická štruktúra, ktorá na danej neprázdnej množine umožňuje zadefinovať pojem vzdialenosti. Pozostáva z neprázdnej základnej množiny X a funkcie d, nazývanej metrika na X, ktorá každej dvojici bodov zo základnej množiny X priraďuje ich vzdialenosť, pričom sú pre ňu splnené isté podmienky. Metrický priestor sa definuje ako usporiadaná dvojica . Na jednej základnej množine môže byť definovaných aj viacero metrík, preto metrický priestor nie je svojou základnou množinou jednoznačne určený.

Motiváciou pre štúdium metrických priestorov je snaha o vystihnutie podstaty konceptov konvergencie a spojitosti a ich zovšeobecnenie z oborov reálnych alebo komplexných čísel do ľubovoľného oboru, ktorý tvorí metrický priestor.

Metrické priestory umožňujú okrem iného dobre definovať pojem otvorenej a uzavretej množiny. Tieto sa potom využívajú pri ďalšom zovšeobecnení - topologických priestoroch, na ktorých nie je definovaná vzdialenosť medzi dvoma bodmi, ale len trieda otvorených podmnožín, spĺňajúca isté základné podmienky vyplývajúce z teórie metrických priestorov.

DefiníciaUpraviť

Metrický priestor je usporiadaná dvojica  , kde X je neprázdna množina a d je zobrazenie   na usporiadaných dvojiciach prvkov X, nazývané metrika na X, pre ktoré sú splnené nasledujúce podmienky:

  1.   a  .
  2.   (symetria).
  3.   (trojuholníková nerovnosť).

ZdrojUpraviť

  • Simmons, G. F.: Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963.

Externé odkazyUpraviť