Spojitá funkcia je pojem z matematickej analýzy, ktorý označuje takú funkciu, že pri veľmi malej zmene hodnoty sa funkčná hodnota zmení veľmi málo. Za istej dodatočnej okolnosti si definíciu spojitosti možno čiastočne preložiť jednoduchou predstavou, že graf spojitej funkcie sa nikde nepretrhne, respektíve sa dá nakresliť súvislou čiarou. Dodatočnou okolnosťou k tejto predstave je, že definičný obor funkcie musí byť interval. Všetky základné elementárne matematické funkcie sú spojité.

DefiníciaUpraviť

Hovoríme, že funkcia   je spojitá v bode  , ak platí

 

Ekvivalentná definícia znie, že funkcia   je v bode   spojitá ak pre každé kladné   existuje kladné  , že pre všetky   z definičného oboru funkcie  , pre ktoré   platí, že  

Pojem spojitosti možno zaviesť aj pre funkcie ktorých definičný obor a obor hodnôt sú odlišné od reálnych čísel. Vyžaduje sa pri tom len dodatočná štruktúra, ktorá umožňuje hovoriť o nejakej blízkosti resp. vzdialenosti bodov. Pojem spojitosti sa priamočiaro zovšeobecňuje na funkcie zobrazujúce metrický priestor do metrického priestoru. Ak   sú metrické priestory a   tak hovoríme, že   je spojitá v bode  , ak je pravda  .

Ešte všeobecnejšie hovoríme o spojitosti pre zobrazenie topologických priestorov.


Definícia pomocou limityUpraviť

Pomocou pojmu limita možno spojitosť funkcie definovať takto. Funkcia   je spojitá v bode   práve vtedy keď

 

A obdobne v každom metrickom priestore.

Vlastnosti spojitých funkcií z do Upraviť

  • Ak je funkcia   spojitá (  je uzavretý interval) a číslo   leží medzi hodnotami  , tak existuje číslo   také, že  . Toto tvrdenie má široké uplatnenie v numerických metódach riešenia rovníc. Napríklad funkcia   má hodnoty  . Takže vieme, že niekde v intervale   existuje číslo   také, že   .
  • Spojitá funkcia   je ohraničená a nadobúda maximálnu a minimálnu hodnotu. V tomto tvrdení nemožno uzavretý interval nahradiť (polo)otvoreným. Napríklad funkcia   je spojitá, je aj ohraničená, ale nenadobúda minimum ani maximum. A zase funkcia   je spojitá ale nie je ani ohraničená.

Princíp spojitého rozšíreniaUpraviť

Nech funkcie   a   sú spojité funkcie (zľava, resp. zprava spojité) v bode  . Ak v každom okolí (resp. v ľavom, pravom okolí) bodu   existuje bod   taký, že  , potom  

Weierstrassova veta o ohraničenosti spojitej funkcieUpraviť

Ak funkcia   je spojitá na   potom   je ohraničená na  .


Weierstrassova veta o maxime a minime spojitej funkcieUpraviť

Ak funkcia je spojitá na   potom   také, že  , pre  

Nespojité funkcieUpraviť

Ak funkcia nie je v niektorom bode svojho definičného oboru spojitá, tak hovoríme, že je nespojitá, resp. že má v danom bode bod nespojitosti. Poznamenajme, že nanpríklad funkcia   je na svojom definičnom obore spojitá funkcia v zmysle definície. Práve tento príklad ukazuje na nedokonalosť definície spojitej funkcie cez možnosť nakresliť súvisle jej graf. Príkladom nespojitej funkcie je funkcia signum - je nespojitá v bode 0. Platí pre ňu

 

Iný známy príklad je takzvaná Dirichletova funkcia, ktorá priraďuje racionálnemu číslu hodnotu 1 a iracionálnemu hodnotu 0:

 

Táto funkcia je nespojitá v každom reálnom čísle.