Dirichletova funkcia

Dirichletova funkcia je funkcia, ktorá je definovaná na obore všetkých reálnych čísel a pritom nie je spojitá v žiadnom bode.

Definícia

upraviť

Dirichletova funkcia D(x) je definovaná následujúcim predpisom:

 

Skutočný graf tejto funkcie nemožno žiadnym spôsobom nakresliť ani si ho predstaviť, čo viedlo mnohých matematikov hlavne v 19. storočí k pochybnostiam, či je Dirichletova funkcia skutočne funkciou či akousi „príšerou“, ktorá nepatrí do matematiky. Dnes už matematika celkom bez námietok uznáva aj omnoho zvláštnejšie funkcie.

Vlastnosti

upraviť

Vlastnosti Dirichletovej funkcie:

Lebesgueov integrál Dirichletovej funkcie

upraviť

Môžeme ho uviesť napr. na intervale  , podľa teórie Lebesgueovho integrálu má byť interval cez ktorý integrujeme lebesgueovsky merateľný. Interval   je podmnožina množiny reálnych čísel, teda je to zjednotenie množiny racionálnych čísel a množiny iracionálnych čísel (teda množina iracionálnych čísel je rovná množinovému rozdielu reálne čísla – racionálne čísla : .Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  :  (racionálne čísla) rovná 0, : , pretože ide o spočítateľnú množinu, teda príspevok všetkých racionálnych čisel k integrálu je 0. Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  :  ( na intervale   ). V iracionálnych čislach je však  , teda aj príspevok iracionálnych je rovný 0. Teda platí, že  .

Pozri aj

upraviť