Ohraničená množina

Pojem ohraničená množina možno definovať pre množiny reálných čísel alebo všeobecnejšie pre metrické priestory. Na množine reálných čísel, ktorá je zároveň metrickým priestorom, sú obe definície ekvivalentné.

Definícia pre reálne číslaUpraviť

  • Ak existuje také číslo   , že pre všetky čísla   platí  , potom množinu   označujeme ako ohraničenú zhora. Číslo   nazývame horným ohraničením množiny.
  • Ak existuje také číslo  , že pre všetky čísla   platí  , potom množinu   označujeme ako ohraničenú zdola. Číslo   nazývame dolným ohraničením množiny.

Množina reálnych čísel ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená.

Najmenšie horné ohraničenie množiny   sa nazýva supremum množiny   a označujeme ho  .

Najväčšie dolné ohraničenie množiny   sa nazýva infimum množiny   a označujeme ho  .

Definícia pre metrické priestoryUpraviť

Ak je   metrický priestor, potom množinu   nazveme ohraničenou, pokiaľ existuje   a reálné číslo   také, že pre každé   je  

Na rozdiel od pojmu uzavretá množina, ktorý nie je absolútny (tento istý metrický priestor môže byť uzavretý v jednom svojom nadpriestore a neuzavretý v inom), ohraničenosť je absolútny pojem.

Totálne ohraničený metrický priestor je vždy ohraničený, opačne to však neplatí.

VlastnostiUpraviť

  • Pre každé   platí   a  
  • Ak množina   je ohraničená zhora, tak má aj supremum.
  • Ak množina   je ohraničená zdola, tak má aj infimum.
  • Ak  , tak   je  .
  • Ak  , tak   je  .

Pozri ajUpraviť

Externé odkazyUpraviť