Otvoriť hlavné menu

Parciálna diferenciálna rovnica

Parciálna diferenciálna rovnica je v matematike rovnica obsahujúca neznámu funkciu niekoľkých nezávisle premenných a jej parciálne derivácie podľa týchto premenných. Najvyšší z rádov parciálnych derivácii vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Parciálne diferenciálne rovnice sú zovšeobecnením obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré obsahujú neznámu funkciu jednej premennej a jej derivácie. Každá obyčajná diferenciálna rovnica je súčasne aj parciálnou diferenciálnou rovnicou.

DefiníciaUpraviť

Parciálna diferenciálna rovnica je matematická rovnica tvaru

 

kde   je neznáma funkcia n premenných. Číslo k sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

PríkladyUpraviť

Elementárny príkladUpraviť

Uvažujme parciálnu diferenciálnu rovnicu

 

Zjavne, riešením tejto rovnice sú všetky funkcie nezávislé od x, preto možno všeobecné riešenie zapísať ako

 

kde f je ľubovoľná funkcia o jednej premennej. Uvedená rovnica je analógiou obyčajnej diferenciálnej rovnice

 

ktorej riešením je ľubovoľná konštanta c (nezávislá od x).

Rovnica vedenia teplaUpraviť

Dôležitým príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje šírenie tepla v telesách v závislosti od času. Pre funkciu   kde   vyjadruje polohu bodu v priestore a t udáva čas, má rovnica vedenia tepla tvar

 

kde   je konštanta.

Vlnová rovnicaUpraviť

Vlnová rovnica je parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá sa využíva na opis vlnenia (akustického, mechanického, elektromagnetického, atď.).

Vo všeobecnosti ide o typ rovnice, ktorá sa dá vyjadriť v tvare

 

kde c je konštanta.

LiteratúraUpraviť

  • Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Springer, 2010.
  • Farlow, S. J.: Partial differential equations for scientists and engineers. Dover, 1993.

Externé odkazyUpraviť