Parciálna diferenciálna rovnica
Parciálna diferenciálna rovnica je v matematike rovnica obsahujúca neznámu funkciu niekoľkých nezávisle premenných a jej parciálne derivácie podľa týchto premenných. Najvyšší z rádov parciálnych derivácii vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.
Parciálne diferenciálne rovnice sú zovšeobecnením obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré obsahujú neznámu funkciu jednej premennej a jej derivácie. Každá obyčajná diferenciálna rovnica je súčasne aj parciálnou diferenciálnou rovnicou.
Definícia
upraviťParciálna diferenciálna rovnica je matematická rovnica tvaru
kde je neznáma funkcia n premenných. Číslo k sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.
Príklady
upraviťElementárny príklad
upraviťUvažujme parciálnu diferenciálnu rovnicu
Zjavne, riešením tejto rovnice sú všetky funkcie nezávislé od x, preto možno všeobecné riešenie zapísať ako
kde f je ľubovoľná funkcia o jednej premennej. Uvedená rovnica je analógiou obyčajnej diferenciálnej rovnice
ktorej riešením je ľubovoľná konštanta c (nezávislá od x).
Rovnica vedenia tepla
upraviťDôležitým príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje šírenie tepla v telesách v závislosti od času. Pre funkciu kde vyjadruje polohu bodu v priestore a t udáva čas, má rovnica vedenia tepla tvar
kde je konštanta.
Vlnová rovnica
upraviťVlnová rovnica je parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá sa využíva na opis vlnenia (akustického, mechanického, elektromagnetického, atď.).
Vo všeobecnosti ide o typ rovnice, ktorá sa dá vyjadriť v tvare
kde c je konštanta.
Literatúra
upraviťExterné odkazy
upraviť- EqWorld - stránka s informáciami o riešeniach rovníc, vrátane parciálnych diferenciálnych (po anglicky).
- Parciálna diferenciálna rovnica - MathWorld (po anglicky)