Pohyb s konštantným zrýchlením

Pohyb s konštantným zrýchlením (iné názvy: rovnomerne premenný pohyb; pri zrýchlenom pohybe: rovnomerne zrýchlený pohyb; pri spomalenom pohybe: rovnomerne spomalený pohyb alebo rovnomerne oneskorený pohyb) je pohyb, pri ktorom je vektor okamžitého zrýchlenia (a) konštantný a nenulový (V ďalšom texte budeme vektor okamžitého zrýchlenia nazývať „zrýchlenie“).

Ekvivalentné definície sú:

• pohyb, pri ktorom je rýchlosť (${\vec {v}}$) lineárnou funkciou časového intervalu ($\Delta t$)
• pohyb, pri ktorom je zrýchlenie (${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{d{\vec {t}}}}$) zhodné s priemerným zrýchlením (${\vec {a}}_{p}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$)
• pohyb, pri ktorom (za predpokladu konštantnej hmotnosti) pôsobí na daný pohybujúci sa hmotný bod konštantná (výsledná) sila (${\vec {F}}$).

Trajektória pohybu s konštantným zrýchlením má v prípade priamočiareho pohybu tvar časti priamky a v prípade krivočiareho pohybu má vždy tvar časti paraboly (tzv. parabolický pohyb; napr. šikmý vrh). Ak teda nejaký krivočiary pohyb nemá trajektóriu tvaru časti paraboly, nejde o pohyb s konštantným zrýchlením.

Treba poznamenať, že termín „rovnomerne premenný (zrýchlený/spomalený [či oneskorený]) pohyb“ môže byť definovaný aj inak – ako pohyb s konštantným $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$. K tomu pozri články rovnomerne premenný pohyb a rýchlosť (fyzikálna veličina). Údaje (vzorce atď.) uvedené v tomto článku platia (aj) pre pohyb s konštantným $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ iba v prípade priamočiareho pohybu, inak sú údaje odlišné.

Vzorce (kinematika)

Vysvetlivky značiek (podrobne pozri v článku rýchlosť (fyzikálna veličina)):

• $_{0}$ : hodnota v čase t₀
• $\Delta$ : (neinfinitezimálna) zmena
• $d$ : infinitezimálna zmena
• $\left|\quad \right|$: pri vektore: veľkosť; pri skalári: absolútna hodnota
• $t$ : čas
• $s$ : krivočiara súradnica („dĺžka dráhy“, „dráha“)
• ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}=\left|ds\right|{\frac {\vec {\tau }}{dt}}$ : vektor okamžitej rýchlosti („rýchlosť“)
• ${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$ : vektor okamžitého zrýchlenia („zrýchlenie“)
• ${\vec {a}}_{t}$ : vektor tangenciálneho zrýchlenia („tangenciálne zrýchlenie“)
• ${\vec {a}}_{n}$ : vektor normálového zrýchlenia („normálové zrýchlenie“)
• ${\vec {r}}$ : polohový vektor
• ${\vec {\tau }}$ : jednotkový vektor v smere vektora okamžitej rýchlosti (${\vec {v}}$)

Všeobecný prípad

Popri všeobecne platných vzorcoch (pozri napr. v článku rýchlosť (fyzikálna veličina)) platia špecificky len pre pohyb s konštantnou rýchlosťou nasledujúce vzorce:

• ${\vec {a}}={\vec {a}}_{0}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$ (${\vec {a}}={\vec {a}}_{0}$ je východiskový predpoklad, teda že ${\vec {a}}$ je konštantné. Ak je ${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$ konštantné, tak to musí platiť aj pre ľubovoľne veľký časový interval, čiže ${\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$)
• ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}\Delta t={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\Delta t$ (Toto je len úprava vzorca ${\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$. Rovnaký výsledok dostaneme zo všeobecne platného vzorca ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}d{\bar {t}}$, keď uvážime, že ${\vec {a}}$ je konštantné.)
• ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\Delta t+{\frac {{\vec {a}}\Delta t^{2}}{2}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\Delta t+{\frac {{\vec {a}}_{0}\Delta t^{2}}{2}}$ (Toto dostaneme, keď do všeobecne platného vzorca ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}{\vec {v}}d{\bar {t}}$ dosadíme ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}\Delta t$)

Keď urobíme dodatočné predpoklady, vyššie uvedené vzorce sa nám zjednodušia. Napríklad ak predpokladáme $t_{0}=0$ (teda čas na začiatku pohybu je 0 sekúnd) a ${\vec {v}}_{0}=0$ (teda rýchlosť na začiatku pohybu je nulová), dostaneme:

• ${\vec {a}}={\vec {a}}_{0}={\frac {\vec {v}}{t}}$
• ${\vec {v}}={\vec {a}}t={\vec {a}}_{0}t$
• ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}={\vec {r}}_{0}+{\frac {{\vec {a}}_{0}t^{2}}{2}}$

Priamočiary pohyb s konštantným zrýchlením

V prípade priamočiareho pohybu s konštantným zrýchlením (porovnaj článok priamočiary pohyb) platia popri vyššie uvedených vzorcoch (teda ${\vec {a}}={\vec {a}}_{0}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$, ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}\Delta t={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\Delta t$ a ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\Delta t+{\frac {{\vec {a}}\Delta t^{2}}{2}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\Delta t+{\frac {{\vec {a}}_{0}\Delta t^{2}}{2}}$) aj nasledujúce vzorce:

• skalárne veličiny:
  • $\left|{\vec {a}}\right|=\left|{\vec {a}}_{0}\right|$; $\left|{\vec {a}}\right|=\left|{\vec {a}}_{t}\right|$
  • $\left|{\vec {a}}_{t}\right|=\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$; $\left|{\vec {a}}_{t}\right|=\pm {\frac {\Delta \left|{\vec {v}}\right|}{\Delta t}}$
  • $\left|{\vec {a}}_{n}\right|=0$
  • $\left|{\vec {v}}\right|=\left|{\vec {v}}_{0}\right|\pm \left|{\vec {a}}\right|\Delta t$ (resp. namiesto $\left|{\vec {a}}\right|$ môže byť vo vzorci $\left|{\vec {a}}_{0}\right|$, $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ alebo $\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$)
  • $s=s_{0}\pm \left|{\vec {v}}_{0}\right|\Delta t\pm {\frac {\left|{\vec {a}}_{0}\right|\Delta t^{2}}{2}}$ (resp. namiesto $\left|{\vec {a}}\right|$ môže byť vo vzorci $\left|{\vec {a}}_{0}\right|$, $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ alebo $\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$)
• vektorové veličiny:
  • ${\vec {a}}={\vec {a}}_{t}$
  • ${\vec {a}}_{t}={\vec {a}}_{t,0}$
  • ${\vec {a}}_{n}$ je nulový vektor
  • ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{t}\Delta t$ (resp. namiesto $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ môže byť vo vzorci $\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$ [alebo ako už bolo uvedené vyššie pre všeobecný prípad: $\left|{\vec {a}}\right|$ alebo $\left|{\vec {a}}_{0}\right|$])
  • ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\Delta t+{\frac {{\vec {a}}_{t}\Delta t^{2}}{2}}$ (resp. namiesto $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ môže byť vo vzorci $\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$ [alebo ako už bolo uvedené vyššie pre všeobecný prípad: $\left|{\vec {a}}\right|$ alebo $\left|{\vec {a}}_{0}\right|$])
  • $\Delta {\vec {r}}=\left|\Delta s\right|{\vec {\tau }}$ (čiže ${\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}=\left|s-s_{0}\right|\cdot {\vec {\tau }}$)

Keď urobíme dodatočné predpoklady, vyššie uvedené vzorce sa nám zjednodušia. Napríklad ak predpokladáme $t_{0}=0$ (teda čas na začiatku pohybu je 0 sekúnd) a $\left|{\vec {v}}_{0}\right|=0$ (teda veľkosť rýchlosti na začiatku pohybu je 0 m/s) a $s_{0}=0$ (teda „dráha“ na začiatku pohybu je 0 metrov), dostaneme:

• skalárne veličiny:
  • $\left|{\vec {a}}\right|=\left|{\vec {a}}_{0}\right|$; $\left|{\vec {a}}\right|=\left|{\vec {a}}_{t}\right|$
  • $\left|{\vec {a}}_{t}\right|=\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$; $\left|{\vec {a}}_{t}\right|=\pm {\frac {\left|{\vec {v}}\right|}{t}}$
  • $\left|{\vec {a}}_{n}\right|=0$
  • $\left|{\vec {v}}\right|=\pm \left|{\vec {a}}\right|t$ (resp. namiesto $\left|{\vec {a}}\right|$ môže byť vo vzorci $\left|{\vec {a}}_{0}\right|$, $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ alebo $\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$)
  • $s=\pm {\frac {\left|{\vec {a}}_{0}\right|t^{2}}{2}}$ (resp. namiesto $\left|{\vec {a}}\right|$ môže byť vo vzorci $\left|{\vec {a}}_{0}\right|$, $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ alebo $\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$)
• vektorové veličiny:
  • ${\vec {a}}={\vec {a}}_{t}$
  • ${\vec {a}}_{t}={\vec {a}}_{t,0}$
  • ${\vec {a}}_{n}$ je nulový vektor
  • ${\vec {v}}={\vec {a}}_{t}t$ (resp. namiesto $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ môže byť vo vzorci $\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$ [alebo ako už bolo uvedené vyššie pre všeobecný prípad: $\left|{\vec {a}}\right|$ alebo $\left|{\vec {a}}_{0}\right|$])
  • ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\frac {{\vec {a}}_{t}t^{2}}{2}}$ (resp. namiesto $\left|{\vec {a}}_{t}\right|$ môže byť vo vzorci $\left|{\vec {a}}_{t,0}\right|$ [alebo ako už bolo uvedené vyššie pre všeobecný prípad: $\left|{\vec {a}}\right|$ alebo $\left|{\vec {a}}_{0}\right|$])
  • $\Delta {\vec {r}}=\left|s\right|{\vec {\tau }}$ (čiže ${\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}=\left|s\right|\cdot {\vec {\tau }}$)

Silové pôsobenie (kinetika)

Pohyb s konštantným zrýchlením je pohyb s konštantným a nenulovým ${\vec {a}}$. Z 2. Newtonovho pohybového zákona v jeho variante pre konštantnú rýchlosť, t.j. zo vzorca ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ (kde ${\vec {F}}$ je sila, $m$ je hmotnosť, $m$ je konštantné a je $>0$), vyplýva, že ak je hmotný bod v pohybe s konštantným nenulovým ${\vec {a}}$, tak naňho pôsobí konštantná (výsledná) sila, teda (výsledná) sila s konštantnou veľkosťou a s konštantným smerom. Čím väčšia je táto konštantná (výsledná) sila, tým väčšie je toto konštantné zrýchlenie pohybu.

Pre akýkoľvek pohyb s nenulovým (konštantným či nekonštantným) zrýchlením platí, že:

• (výsledná) sila má rovnaký smer ako zrýchlenie (vyplýva to zo vzorca ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$)
• pri priamočiarom zrýchlenom pohybe má táto sila (a zrýchlenie) navyše rovnaký smer a orientáciu ako smer pohybu (teda smer ${\vec {v}}$), pri priamočiarom spomalenom pohybe má táto sila (a zrýchlenie) rovnaký smer ale opačnú orientáciu ako smer pohybu (teda smer ${\vec {v}}$); pri krivočiarom pohybe (teda v kontexte pohybu s konštantným zrýchlením: pri parabolickom pohybe) má táto sila (a zrýchlenie) smer odlišný od smeru pohybu (teda smeru ${\vec {v}}$)
• pri krivočiarom pohybe (teda v kontexte pohybu s konštantným zrýchlením: pri parabolickom pohybe) možno túto silu rozložiť na tangenciálnu silu (${\vec {F}}_{t}$) a normálovú silu (${\vec {F}}_{n}$) – podrobnosti pozri v článku pohyb po kružnici.

Voľný pád a vrh

Typickým príkladom silového pôsobenia pri pohybe s konštantnou rýchlosťou je pohyb vo vákuu v homogénnom tiažovom poli Zeme, teda tzv. voľný pád a tzv. vrh. Pri tomto pohybe je ${\vec {a}}={\vec {g}}$, čiže zrýchlenie (${\vec {a}}$) je rovné tiažovému zrýchleniu (${\vec {g}}$). Preto aj ${\vec {F}}={\vec {F}}_{G}$, kde ${\vec {F}}_{G}=m{\vec {g}}$, pričom ${\vec {F}}_{G}$ sa nazýva tiažová sila (iné názvy: tiaž, sila tiaže, historicky aj: váha). Tiažová sila je výslednica gravitačnej sily (${\vec {F}}_{G}$) a rotáciou Zeme vznikajúcej odstredivej sily (teda opaku normálovej – čiže dostredivej – sily), čiže ${\vec {F}}_{G}={\vec {F}}_{G}+\left(-{\vec {F}}_{n}\right)$.

K tomu niekoľko poznámok:

• ${\vec {g}}$ v skutočnosti nie je úplne konštantné (a teda príslušný pohyb nie je celkom pohyb s konštantným zrýchlením), ale sa mierne mení spolu so zemepisnou šírkou; v fyzikálnej teórii sa však obyčajne zjednodušene považuje z konštantu.
• Niekedy sa terminologicky odlišuje tiažová sila ${\vec {F}}_{G}$ (ako sila pôsobiaca na samotný hmotný bod či ťažisko samotného telesa) od tiaže ${\vec {G}}$ (ako sily, ktorou pôsobí hmotný bod či teleso na svoju podložku alebo na svoj záves); rozdiel medzi takto definovaným ${\vec {F}}_{G}$ a ${\vec {G}}$ je teda len v mieste pôsobenia, ich smer aj veľkosť sú zhodné.
• V geofyzikálnej literatúre sa slovom tiaž niekedy označuje aj tiažové zrýchlenie (${\vec {g}}$).

O výpočte rýchlosti voľného pádu a vrhu pozri aj príslušnú kapitolu v článku rýchlosť (fyzikálna veličina).

Obmedzenia

Podobne v ako mnoho iných jednoduchých úloh vo fyzike, aj pohyb s konštantným zrýchlením je len idealizovaná situácia:

Odporová sila

Ak by sme aj dokázali na nejaké teleso pôsobiť konštantnou silou, po získaní rýchlosti by na teleso začala pôsobiť sila odporu prostredia (odporová sila, ${\vec {F}}_{O}$), napríklad odpor vzduchu. Táto sila rastie spolu s ${\vec {v}}$ pohybujúceho sa telesa a závisí aj od prostredia ako aj od tvaru a rozmerov pohybujúceho sa telesa. Jej smer je rovnaký ako smer pohybu (teda smer ${\vec {v}}$), ale jej orientácia je opačná voči orientácii pohybu (teda orientácii ${\vec {v}}$). Preto napríklad pri obdobe voľného pádu prebiehajúcej mimo vákua nie je ${\vec {a}}$ konštantné, ale s narastajúcim ${\vec {v}}$ klesá, pretože proti tiažovej sile padajúceho telesa (${\vec {F}}_{G}=m{\vec {g}}$) pôsobí stále väčšia odporová sila vzduchu (${\vec {F}}_{O}$ = kladná funkcia ${\vec {v}}$).

Relativistická mechanika

Vyššie sme vychádzali z klasickej mechaniky, v ktorej sa predpokladá, že hmotnosť nie je funkciou rýchlosti, a teda musí platiť ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$, pričom ${\vec {m}}$ je konštantné a kladné (Ak chceme zohľadniť možnosť, že sa hmotnosť telesa môže meniť – čo je v klasickej mechanike možné len fyzickým odobratím resp. pridaním „hmoty“ do resp. z telesa počas jeho pohybu – tak musíme použiť presnejší vzorec ${\vec {F}}={\frac {d\left(m{\vec {v}}\right)}{dt}}={\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}+m{\vec {a}}$). Zo vzorcov ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ (alebo ${\vec {F}}={\frac {d\left(m{\vec {v}}\right)}{dt}}$) a ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}\Delta t$ vyplýva, že pri konštantnom ${\vec {a}}$ je konštantné aj ${\vec {F}}$ a ${\vec {v}}$ môže byť ľubovoľne veľké. Čiže pri pohybe s konštantným zrýchlením (inak povedané: pri konštantnej sile) môže teleso po dostatočne dlhom čase dosiahnuť ľubovoľnú rýchlosť, teda môže prekročiť aj rýchlosť svetla vo vákuu ($c$), čo však (podľa súčasného stavu poznania) nie je možné. Všetky výskyty značky m použité v tomto odseku možno – vzhľadom na potreby textu nasledujúceho odseku – nahradiť aj značkou ${\vec {m}}_{0}$. Relativistická mechanika (teória relativity) naopak predpokladá, že hmotnosť je funkciou rýchlosti (platí to najmä pri veľmi vysokých rýchlostiach), konkrétne $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {\left|{\vec {v}}\right|^{2}}{c^{2}}}}}}$, kde $m_{0}$ je pokojová hmotnosť telesa, čo je zároveň hmotnosť z klasickej mechaniky. Takto vypočítané $m$ nazývame aj relativistická hmotnosť. Z tohto vzorca vidno, že:

• ak je $\left|{\vec {v}}\right|$ malé, tak dostaneme približne $m=m_{0}$, čiže dostaneme prípad klasickej mechaniky, kde hmotnosť nie je funkciou rýchlosti a je teda konštantná
• ak je $\left|{\vec {v}}\right|$ také veľké, že sa blíži k $c$, tak je $m$ veľmi veľké
• $\left|{\vec {v}}\right|<c$ (inak by výraz $m={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\left|{\vec {v}}\right|^{2}}{c^{2}}}}}}$ obsahoval deleniu nulou)

Po dosadení $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {\left|{\vec {v}}\right|^{2}}{c^{2}}}}}}$ do ${\vec {F}}={\frac {d\left(m{\vec {v}}\right)}{dt}}={\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}+m{\vec {a}}$ sa dá ukázať, že ${\vec {F}}$ už nemá ako v klasickej mechanike rovnaký smer ako ${\vec {a}}$ a okrem to sa dá ukázať, že:

• pre malé $\left|{\vec {v}}\right|$ dostaneme takmer konštantné $m$, a teda konštantné ${\vec {F}}$ pôsobiace na teleso spôsobí konštantné ${\vec {a}}$, čiže spôsobí pohyb s konštantným zrýchlením (čiže približne ${\vec {F}}=0+m{\vec {a}}=m{\vec {a}}$)
• pre veľké $\left|{\vec {v}}\right|$ blížiace sa k $c$ naopak dostaneme obrovské $m$, ktoré prudko rastie, a teda konštantné ${\vec {F}}$ pôsobiace na teleso spôsobí klesajúce ${\vec {a}}$, čiže spôsobí pohyb s nekonštantným zrýchlením.

Súhrnne teda: Pri bežnej veľkosti rýchlosti telesa konštantná sila pôsobiaca na teleso spôsobí jeho pohyb s konštantným zrýchlením. To znamená, že rýchlosť telesa bude neustále konštantne narastať. Nedosiahne však ľubovoľne veľkú hodnotu, pretože pri veľkosti rýchlosti telesa blízkej rýchlosti svetla vo vákuu už konštantná sila pôsobiaca na teleso spôsobí (obrovský nárast hmotnosti telesa a teda), že teleso prejde z pohybu s konštantným zrýchlením do pohybu so zmenšujúcim sa zrýchlením. Rýchlosť svetla vo vákuu teleso nakoniec nikdy nedosiahne.

Zdroje

• Prvá časť článku: pozri zdroje v článku rýchlosť (fyzikálna veličina), najmä v kapitole “Vzorce rýchlosti pre rôzne druhy pohybov”
• Kapitola Silové pôsobenie (kinetika):
  • ZAJÍC, Jan. Fyzika 1 [online]. Univerzita Pardubice – Fakulta chemicko-technologická, 2016, [cit. 2016-04-07]. Dostupné online. ^{[nefunkčný odkaz]} s. 36, 68, 70 – 74, 75
  • SEXL, Roman; RAAB, Ivo; STREERUWITZ, Ernst. Physik. 1. Wien : Ueberreuter, Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, 1989. ISBN 3-209-00803-5. S. 48.
  • KRÁLÍK, Jiří. Úvod do studia fyziky – studijní text pro kombinované studium [online]. Katedra chemie PřF UJEP, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online. s. 51-57
  • tiaž. In: Pyramída
  • tíhová síla In: Technický slovník naučný 8 T – Ž. Praha : Encyklopedický dům, 2005. ISBN 80-7335-080-7. s. 102
  • tíhové zrychlení In: Technický slovník naučný 8 T – Ž. Praha : Encyklopedický dům, 2005. ISBN 80-7335-080-7. s. 102, 103
  • Tíha a tíhová síla In: REICHL, Jaroslav. Encyklopedie fyziky [online]. Jaroslav Reichl a Martin Všetička, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online.
  • PIŠÚT et al.: Fyzika pre 4. ročník gymnázií. Bratislava: SPN, 1993. str. 121-122
  • DEMTRÖDER, Wolfgang. Experimentalphysik 1 (Mechanik und Wärme). Berlin; Heidelberg : Springer Spektrum, 2008. ISBN 978-3-540-79294-9. S. 130.