Riccatiho rovnica

Riccatiho rovnica je nelineárna Obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu

$y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)$

kde funkcie $q_{i},\ i=0,1,2$ sú zadané a predpokladá sa, že $q_{0}(x),q_{2}(x)\not =0$.

Transformácia na lineárnu rovnicu druhého rádu

Riccatiho rovnicu možno upraviť na lineárnu rovnicu druhého rádu.

Ak $q_{2}\not =0$, tak nová funkcia $v=yq_{2}$ je riešením špeciálnej Riccatiho rovnici

$v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!$

kde význam symbolov $S,R$ je nasledovný

$S=q_{2}q_{0},\quad R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)$.

Ak teraz urobíme substitúciu $v=-u'/u$, tak zistíme, že funkcia $u$ spĺňa lineárnu rovnicu druhého rádu

$u''-Ru'+Su=0.\!$

Riešenie $y$ pôvodnej Riccatiho rovnice potom súvisí s riešením $u$ lineárnej rovnice vzťahom

$y=-u'/(q_{2}u).\!$

Štruktúra riešení Riccatiho rovnice

Vzťah medzi Riccatiho rovnicou a lineárnou rovnicou druhého rádu umožňuje detailne preskúmať množinu riešení Riccatiho rovnice. Menovite, ak poznáme nejaké riešenie Riccatiho rovnice, označme ho $Y$, tak potom všeobecné riešenie je tvaru

$Y+u.\!$

Dosadením tohoto vzťahu do Riccatiho rovnice dostávame podmienku na funkciu $u$

$u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,Y)\,u=q_{2}\,u^{2},$

čo je Bernoulliho diferenciálna rovnica, ktorú riešime úpravou na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou substitúcie

$z={\frac {1}{u}}$

s výslednou rovnicou

$z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,Y)\,z=-q_{2}$

Čiže zhrnieme, ak $Y$ je nejaké riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice, tak všeobecné riešenie Riccatiho rovnice má tvar

$y=Y+{\frac {1}{z}},$

kde $z$ je všeobecné riešenie uvedenej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.