Riccatiho rovnica

Riccatiho rovnica je nelineárna Obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu

kde funkcie sú zadané a predpokladá sa, že .

Transformácia na lineárnu rovnicu druhého ráduUpraviť

Riccatiho rovnicu možno upraviť na lineárnu rovnicu druhého rádu.

Ak  , tak nová funkcia   je riešením špeciálnej Riccatiho rovnici

 

kde význam symbolov   je nasledovný

 .

Ak teraz urobíme substitúciu  , tak zistíme, že funkcia   spĺňa lineárnu rovnicu druhého rádu

 

Riešenie   pôvodnej Riccatiho rovnice potom súvisí s riešením   lineárnej rovnice vzťahom

 

Štruktúra riešení Riccatiho rovniceUpraviť

Vzťah medzi Riccatiho rovnicou a lineárnou rovnicou druhého rádu umožňuje detailne preskúmať množinu riešení Riccatiho rovnice. Menovite, ak poznáme nejaké riešenie Riccatiho rovnice, označme ho  , tak potom všeobecné riešenie je tvaru

 

Dosadením tohoto vzťahu do Riccatiho rovnice dostávame podmienku na funkciu  

 

čo je Bernoulliho diferenciálna rovnica, ktorú riešime úpravou na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou substitúcie

 

s výslednou rovnicou

 

Čiže zhrnieme, ak   je nejaké riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice, tak všeobecné riešenie Riccatiho rovnice má tvar

 

kde   je všeobecné riešenie uvedenej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.