Riemannova guľa

Riemannova guľa alebo Riemannova sféra, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu

Riemannova guľa môže byť znázornená ako komplexná rovina obalená okolo gule istým spôsobom stereografickej projekcie.

$1/0=\infty$.

Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:

• Komplexná projektívna priamka, označovaná $\mathbb {CP} ^{1}$ alebo
• Rozšírená komplexná rovina, prípadne rozšírená Gaussova rovina, označovaná $\mathbb {\hat {C}}$ alebo $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$.

Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako rozšírené komplexné čísla. Avšak aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.

V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu - predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.

Komplexná varieta

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, ktorej atlas pozostáva z dvoch komplexných súradníc $\zeta ,\xi \in \mathbb {C}$, kde

$\zeta :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{\infty \}\to \mathbb {C}$ je definovaná ako $\zeta (z)=z$

a

$\xi :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}\to \mathbb {C}$ je definovaná ako $\zeta (z)={\frac {1}{z}}$ pre $z\neq \infty$ a 0 pre $z=\infty$.

Takáto definícia intuitívne zodpovedá zlepeniu dvoch rovín, ktoré pokrývajú takmer celú guľu, až na jeden bod (ktorý je pre jednu rovinu 0 a pre druhú $\infty$). Počiatok $\zeta$-súradnice hrá v tomto prípade úlohu nekonečna pre $\xi$-súradnicu a naopak.

Stereografická projekcia

Stereografická projekcia Riemannovej gule do Gaussovej roviny.

Riemannova guľa môže byť interpretovaná nasledujúcim spôsobom: ide o guľu, ktorá sa južným pólom dotýka počiatku Gaussovej roviny. Ktorémukoľvek bodu z Gaussovej roviny možno priradiť bod na Riemannovej gule preložením priamky medzi bodom z a severným pólom gule. Bod, v ktorom sa táto priamka pretne s povrchom Riemannovej gule je bod Riemannovej gule odpovedajúci bodu z. Severný pól Riemannovej gule odpovedá nekonečnu, čo je v súlade s prirodzenou geometrickou predstavou.

Pozri aj

• Komplexná analýza
• Gaussova rovina
• Stereografická projekcia

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Riemannova guľa

Externé odkazy

• Riemannova guľa Archivované 2010-06-20 na Wayback Machine - PlanetMath (po anglicky)
• Riemannova guľa - Wolfram MathWorld (po anglicky)

Zdroje

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článkov Riemann sphere na anglickej Wikipédii a Riemannova koule na českej Wikipédii.