Riemannova guľa

Riemannova guľa alebo Riemannova sféra, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu

Riemannova guľa môže byť znázornená ako komplexná rovina obalená okolo gule istým spôsobom stereografickej projekcie.
.

Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:

  • Komplexná projektívna priamka, označovaná alebo
  • Rozšírená komplexná rovina, prípadne rozšírená Gaussova rovina, označovaná alebo .

Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako rozšírené komplexné čísla. Avšak aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.

V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu - predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.

Komplexná varietaUpraviť

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, ktorej atlas pozostáva z dvoch komplexných súradníc  , kde

  je definovaná ako  

a

  je definovaná ako   pre   a 0 pre  .

Takáto definícia intuitívne zodpovedá zlepeniu dvoch rovín, ktoré pokrývajú takmer celú guľu, až na jeden bod (ktorý je pre jednu rovinu 0 a pre druhú  ). Počiatok  -súradnice hrá v tomto prípade úlohu nekonečna pre  -súradnicu a naopak.

Stereografická projekciaUpraviť

 
Stereografická projekcia Riemannovej gule do Gaussovej roviny.

Riemannova guľa môže byť interpretovaná nasledujúcim spôsobom: ide o guľu, ktorá sa južným pólom dotýka počiatku Gaussovej roviny. Ktorémukoľvek bodu z Gaussovej roviny možno priradiť bod na Riemannovej gule preložením priamky medzi bodom z a severným pólom gule. Bod, v ktorom sa táto priamka pretne s povrchom Riemannovej gule je bod Riemannovej gule odpovedajúci bodu z. Severný pól Riemannovej gule odpovedá nekonečnu, čo je v súlade s prirodzenou geometrickou predstavou.[1][2]

ReferencieUpraviť

  1. J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-01-04]. ISBN 80-8078-091-9.
  2. DOVCOVÁ, Katarína. Neeuklidovská geometria [online]. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2008, [cit. 2008-01-04]. Dostupné online.

Pozri ajUpraviť

Iné projektyUpraviť

Externé odkazyUpraviť

ZdrojeUpraviť