Rozptyl (štatistika)

Rozptyl (iné názvy: variancia, disperzia, stredná kvadratická odchýlka, stredná kvadratická fluktuácia) je najčastejšie používaná miera variability.

Hodnota rozptylu je závislá od odchýlky štatistiky od priemeru. Ak chápeme štatistický súbor ako realizáciu náhodného výberu z určitého rozdelenia, potom rozptyl určuje strednú kvadratickú odchýlku jednotlivých nameraných hodnôt od výberového priemeru.

DefiníciaUpraviť

Nech   je náhodná premenná, ktorá nadobúda konečne alebo spočítateľne veľa hodnôt. Potom definujeme rozptyl ako

 .

Ďalším často používaným vzťahom na výpočet rozptylu je

 ,

ku ktorému môžeme prísť odvodením zo základného vzťahu. Ak je každý výsledok rovnako pravdepodobný a je ich konečne veľa, uvedený vzťah možno prepísať do tvaru

 .

Ak uvažujeme náhodnú premennú  , ktorá nadobúda nekonečne veľa, resp. nespočítateľne veľa hodnôt, teda je spojitá, používame na výpočet variancie vzťah

 ,

kde   je funkcia hustoty pravdepodobnosti príslušného rozdelenia.

Vlastnosti rozptyluUpraviť

  • Rozptyl má aditívnu vlastnosť len v prípade, že náhodné premenné v jeho argumente sú nezávislé.
  •  
  • Pri transformácii náhodnej premennej  , kde   je konštanta platí
 
  • Rozptyl môžeme prepísať z definičného tvaru do nasledovného, z ktorého je jasné, že ide o strednú hodnotu istej transformácie pôvodnej náhodnej premennej
 

Použitie a príkladyUpraviť

Hodnota rozptylu je vždy kladná, čo vyplýva z toho, že pracujeme s druhou mocninou odchýlky. Druhú odmocninu z rozptylu nazývame smerodajná odchýlka a označujeme

 

Pomocou štandardnej odchýlky a korelačného koeficientu možno vyjadriť kovarianciu nasledovným spôsobom

 

Rozptyl vystupuje aj v dôležitej Čebyševovej nerovnosti, ktorá sa využíva pri dôkaze slabého zákona veľkých čísel.

PríkladUpraviť

Rozptyl rovnomerného rozdelenia na intervale [-1,+1] je