Základná veta aritmetiky

Základná veta aritmetiky je matematická veta, ktorá tvrdí, že každé prirodzené číslo väčšie než 1 možno jednoznačne rozložiť na súčin prvočísiel.

Presná formuláciaUpraviť

Pre každé prirodzené číslo   existuje práve jedna skupina prirodzených čísel väčších než 0:   a práve jedna skupina podľa veľkosti zoradených prvočísiel:   tak, že
 

Náčrt dôkazuUpraviť

Tvrdenie sa dokazuje matematickou indukciou:

  • pre prvočísla veta triviálne platí - prvočíslo p možno rozložiť práve jedným spôsobom:  
  • pokiaľ platí pre všetky  , potom   je buď prvočíslo, alebo súčin nejakých dvoch menších čísiel - spojením ich jednoznačných prvočíselných rozkladov získame určite minimálne jeden rozklad
  • zostáva dokázať, že tento rozklad je jednoznačný - dokazuje sa sporom (pokiaľ pre   existujú dva rôzne rozklady, potom museli existovať dva rôzne rozklady tiež pre nejaké menšie číslo, čo je v spore s indukčným predpokladom)

Pozri ajUpraviť

ZdrojUpraviť

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Základní věta aritmetiky na českej Wikipédii.