Alef 0

$\aleph _{0}$ (Alef 0) (v rovnakom význame sa používa aj $\,\omega _{0}$ či len $\,\omega$) je najmenšie nekonečné ordinálne aj kardinálne číslo.

Vlastnosti

$\aleph _{0}$ je

• limitný ordinál a limitný kardinál
• regulárny ordinál
• mohutnosťou množiny prirodzených, racionálnych aj algebraických čísiel
• najmenšou hodnotou funkcie alef

Značenie

V súčasnosti sú všetky tri značenia pre najmenší nekonečný ordinál (t. j. $\aleph _{0},\omega _{0},\omega$) považované za v podstate rovnocenné. Z historických dôvodov však býva zvykom používať značenie

• $\,\aleph _{0}$ ak hovoríme o tomto čísle ako o čísle kardinálnom,
• $\,\omega _{0}$ a $\,\omega$ ak o ňom hovoríme ako o čísle ordinálnom, pričom index 0 sa väčšinou používa vtedy, ak berieme do úvahy toto číslo v kontexte vyšších počiatočných ordinálnych čísiel.

Toto značenie má svoje historické opodstatnenie. V začiatkoch naivnej teórie množín boli ordinálne a kardinálne čísla chápané ako typy dobrých usporiadaní resp. mohutnosťou množín, teda ako odlišné objekty, ktoré spolu nemajú nič spoločného. Ordinálne číslo $\omega$ bolo chápané ako typ dobrého usporiadanie množiny prirodzených čísiel, t. j. ako typ usporiadania, ktoré je limitou typov usporiadaní konečných množín. Odtiaľ zrejme pochádza označenie $\omega$ posledným písmenom gréckej abecedy. Naopak kardinálne číslo $\aleph _{0}$ je najmenším z rady typov nekonečných veľkostí. Odtiaľ pochádza označenie $\aleph _{0}$ prvým písmenom hebrejskej abecedy (najvyššia mohutnosť, mohutnosť triedy všetkých kardinálnych čísiel označil Georg Cantor posledným písmenom hebrejskej abecedy ת (taf)).

Pozri aj

• Funkcia alef
• Epsilon 0
• Taf

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Alef 0 na českej Wikipédii.