Bernoulliho rovnica

Bernoulliho rovnica je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.

Obr. 1.a Prúdová trubica s naznačenými prúdnicami
Obr. 1.b Pohyb tekutiny v prúdovej trubici

OdvodenieUpraviť

Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad ustálenosti prúdenia, t. j. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.

Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do trubice  , rýchlosť tekutiny v tomto bode označme  . Obdobne označme plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako   a  . Keďže prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:

 

Máme teda rovnosť:

 

Tiež známu ako rovnicu kontinuity.

Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do   je   zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je  . Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi   a   je preto:

 

a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti   pri prechode z   do  . Teda:

 

pričom   je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a   na výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:

 

Kde   je kinetická energia na jednotku hmotnosti,   je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a   je člen, ktorý reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej rovnice potom dostávame:

 

Keďže však  , tak dostaneme výraz:

 

známy tiež ako Bernoulliho rovnica.

Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinuUpraviť

Ideálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:

 

Vymedzenie platnostiUpraviť

Vyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady[1]:

  1. stále sa uvažuje ustálené prúdenie tekutiny
  2. ide o niektorú z nasledovných geometrických podmienok:
    • nevírivé prúdenie kvapaliny – v tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet všetkých členov jednej strany je konštantný v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdiacej tekutiny.
    • vírivé prúdenie po prúdnici – rovnica platí len pre jednotlivú prúdnicu, súčet členov pre rôzne prúdnice nie je rovnaký.
    • vírivé prúdenie po vírovej čiare – rovnica platí len pre jednotlivú vírovú čiaru, súčet členov pre rôzne vírové čiary nie je rovnaký.
    • skrutkový pohyb kvapaliny – je to pohyb pri ktorom je každá prúdnica totožná s nejakou vírovou čiarou. častice kvapaliny teda prúdia po prúdnici a pritom sa okolo nej otáčajú. V tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet členov v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdu je konštantný.

Prúdenie v gravitačnom poliUpraviť

Pre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom   Potom je platí:

 

Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg−1.

Iné formy rovniceUpraviť

Pre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice: Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:

 

kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:

  • tlaková výška
  • rýchlostná výška
  • výška (polohová výška)

Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:

 

kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:

  • tlak
  • dynamický tlak
  • hydrostatický tlak

Zjednodušená Bernoulliho rovnicaUpraviť

Ak kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:

 

Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký.

Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).

Názvoslovie členov v Bernoulliho rovniciUpraviť

V zjednodušenej Bernoulliho rovnici:

 

Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať hustotou tlakovej práce, často sa však stretneme aj s pojmom hustota tlakovej energie. Je dôležité upozorniť, že nejde o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, ale zaužívaneho, pojmu hustota tlakovej energie a hovoriť miesto toho o hustote tlakovej práce

ZdrojeUpraviť

ReferencieUpraviť

  1. Gančo Martin: Mechanika tekutín. 2. vydanie. Bratislava, Alfa. 1990 (SVŠT SjF)