Bernoulliho rovnica
Bernoulliho rovnica je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.
Odvodenie
upraviťJedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad ustálenosti prúdenia, t. j. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.
Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do trubice , rýchlosť tekutiny v tomto bode označme . Obdobne označme plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako a . Keďže prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:
Máme teda rovnosť:
Tiež známu ako rovnicu kontinuity.
Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do je zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je . Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi a je preto:
a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti pri prechode z do . Teda:
pričom je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a na výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:
Kde je kinetická energia na jednotku hmotnosti, je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a je člen, ktorý reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej rovnice potom dostávame:
Keďže však , tak dostaneme výraz:
známy tiež ako Bernoulliho rovnica.
Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinu
upraviťIdeálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:
Vymedzenie platnosti
upraviťVyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady[1]:
- stále sa uvažuje ustálené prúdenie tekutiny
- ide o niektorú z nasledovných geometrických podmienok:
- nevírivé prúdenie kvapaliny – v tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet všetkých členov jednej strany je konštantný v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdiacej tekutiny.
- vírivé prúdenie po prúdnici – rovnica platí len pre jednotlivú prúdnicu, súčet členov pre rôzne prúdnice nie je rovnaký.
- vírivé prúdenie po vírovej čiare – rovnica platí len pre jednotlivú vírovú čiaru, súčet členov pre rôzne vírové čiary nie je rovnaký.
- skrutkový pohyb kvapaliny – je to pohyb pri ktorom je každá prúdnica totožná s nejakou vírovou čiarou. častice kvapaliny teda prúdia po prúdnici a pritom sa okolo nej otáčajú. V tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet členov v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdu je konštantný.
Prúdenie v gravitačnom poli
upraviťPre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom Potom je platí:
Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg−1.
Iné formy rovnice
upraviťPre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice: Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:
kde jednotlivé členy v uvedenom poradí sa nazývajú:
- tlaková výška
- rýchlostná výška
- výška (polohová výška)
Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:
kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:
- tlak
- dynamický tlak
- hydrostatický tlak
Zjednodušená Bernoulliho rovnica
upraviťAk kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:
Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký.
Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).
Názvoslovie členov v Bernoulliho rovnici
upraviťV zjednodušenej Bernoulliho rovnici:
Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať hustotou tlakovej práce, často sa však stretneme aj s pojmom hustota tlakovej energie. Je dôležité upozorniť, že nejde o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, ale zaužívaneho, pojmu hustota tlakovej energie a hovoriť miesto toho o hustote tlakovej práce
Zdroje
upraviť- Feynmanove prednášky z Fyziky, druhý diel (ISBN 80-7200-420-4)
Referencie
upraviť- ↑ Gančo Martin: Mechanika tekutín. 2. vydanie. Bratislava, Alfa. 1990 (SVŠT SjF)