Keplerove zákony

Keplerove zákony sú tri pravidlá týkajúce sa pohybov telies v slnečnej sústave, ktoré na základe astronomických pozorovaní formuloval Johannes Kepler. Rovnako ako platia pre planéty v slnečnej sústave ich môžeme použiť aj pre ľubovoľne iné sústavy obiehajúcich telies (napr. pre mesiace Jupitera).

Tieto zákony boli dôležitým východiskom pre Isaaca Newtona pri jeho formulovaní zákonov gravitácie a z Newtonovho gravitačného zákona je možné všetky tri Keplerove zákony odvodiť pomocou diferenciálneho počtu. Pri ich hľadaní boli pre Keplera dôležité pozorovania Tycha Braheho, ktoré mu tento odkázal po svojej smrti (spolu totiž predtým spolupracovali). Prvé dva zákony publikoval Kepler v roku 1609 v diele Astronomia Nova (Nová astronómia), tretí zákon pridal v roku 1619 v diele Harmonices Mundi (Harmónie sveta).

Prvý Keplerov zákon

Planéty obiehajú okolo Slnka po eliptických trajektóriách s malou výstrednosťou, v ktorých sa Slnko nachádza v jednom spoločnom ohnisku.

Od dôb gréckych filozofov bola kružnica považovaná za dokonalý útvar, preto vystupovala vo všetkých modeloch slnečnej sústavy. I v tých, ktoré mali v strede Zem (najznámejším je Ptolemaiov model) i v Kopernikovom heliocentrickom systéme. Predpoklad o eliptických dráhach je preto veľkou zmenou v astronomickom svetonázore.

Druhý Keplerov zákon

Sprievodič (spojnica Slnka a planéty) opíše za rovnaký čas vždy rovnakú plochu.

Použitím tohto zákona môžeme zistiť, že rýchlosť planét blízko Slnka (kedy je sprievodič kratší) je väčšia ako keď je planéta ďaleko od Slnka. Druhý Keplerov zákon je priamym dôsledkom zákona zachovania momentu hybnosti planéty. Moment hybnosti $L$ sa počíta podľa vzťahu:

$L=mrv_{k},$

kde $m$ je hmotnosť planéty, $r$ je momentálna vzdialenosť od Slnka a $v_{k}$ je zložka rýchlosti kolmá na spojnicu Slnko-planéta. Obsah vykreslený sprievodičom planéty za jednotku času je pritom rovný ${\frac {rv_{k}}{2}}$, je teda priamo úmerný momentu hybnosti. Preto keďže tento ostáva konštantný, aj obsah opísaný sprievodičom za jednotku času je konštantný.

Tretí Keplerov zákon

Pomer druhej mocniny obežnej doby planéty a tretej mocniny jej strednej vzdialenosti od Slnka má pre všetky planéty rovnakú hodnotu.

V skutočnosti platí tento Keplerov zákon iba približne a to vďaka tomu, že hmotnosť Slnka je omnoho väčšia než hmotnosť planét. Presný vzťah pre dobu obehu telesa s hmotnosťou $m_{2}$ okolo telesa s hmotnosťou $m_{1}$ má tvar

${\frac {T^{2}}{a^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{\varkappa (m_{1}+m_{2})}}$

Keď je napríklad hmotnosť $m_{2}$ zanedbateľná, pomer ${\frac {T^{2}}{a^{3}}}$ závisí iba od gravitačnej konštanty $\varkappa$ a hmotnosti centrálneho telesa $m_{1}$. Preto keď okolo neho obieha viacero telies s malou hmotnosťou, podiel ${\frac {T^{2}}{a^{3}}}$ je pre všetky telesá prakticky rovnaký.

Fyzikálny portál Astronomický portál