Diferenciálny a integrálny počet

Diferenciálny a integrálny počet (často aj infinitezimálny počet) je jedna z centrálnych disciplín matematiky, ktorá sa vyvinula z algebry a geometrie. V súčasnosti tvorí základ matematickej analýzy. Je postavený na dvoch komplementárnych myšlienkach.

Prvým z konceptov je diferenciálny počet, ktorý študuje rýchlosť zmeny, ktorá je zvyčajne vyjadrená smernicou krivky. Diferenciálny počet je založený na probléme hľadania okamžitej rýchlosti zmeny jednej veličiny vzhľadom na inú. Typické príklady problémov diferenciálneho počtu z reálneho sveta je hľadanie nasledovných veličín:

• zrýchlenie a rýchlosť voľne padajúceho telesa v danom okamihu,
• strata rýchlosti a trajektórie vystreleného projektilu, napr. delovej gule či guľky z pištole,
• zmena v ziskovosti rastúceho podniku v určitom okamihu času.

Druhý koncept je integrálny počet. Študuje akumuláciu veličín, napr. plochy pod krivkou, prejdenú lineárnu vzdialenosť či vytlačený objem. Príklady problémov z reálneho života, na ktoré sa integrálny počet snaží nájsť odpovede, je hľadanie nasledujúcich veličín:

• množstvo vody vypumpovanej pumpou o danom výkone pri meniacich sa podmienkach pumpovacích strát a tlaku,
• množstvo finančných prostriedkov nazhromaždených podnikom pri meniacich sa biznis podmienkach,
• množstvo plochy spracovanej snežným pluhom daného výkonu pri meniacich sa snehových zrážkach.

Tieto dva koncepty, derivácia a integrál, sú navzájom k sebe inverzné presne v zmysle, o ktorom hovorí základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu. V rámci prednášok matematickej analýzy je možné stanoviť vlastnú prioritu, aj keď zvyčajný prístup dodržiavaný takmer striktne, je vyučovať najprv diferenciálny počet.

História

Aj keď zvyčajne počiatky integrálneho počtu sledujeme od starovekých Grékov, existujú dôkazy, že už starovekí Egypťania mohli disponovať takýmto poznaním (pozri Moskovský matematický papyrus). Eudoxusovi sa obyčajne pripisuje metóda vyčerpávania (exhaustácie), ktorá umožňovala spočítať plochu geometrických útvarov a objem telies. Túto metódu ďalej úspešne rozvíjal Archimedes zo Syrakúz, ktorý objavil niekoľko heuristických metód pripomínajúcich moderné koncepty dnešných dní. Indický matematik Bhaskara (1114 – 1185) ukázal príklad toho, čo dnes poznáme ako diferenciálny koeficient a takisto podal základnú myšlienku dnešnej Rolleho vety. Indický matematik Madhava spolu s ostatnými matematikmi Keralskej školy v 14. storočí podnikli mnohé zaujímavé výlety do diferenciálneho a integrálneho počtu. Naozajstný zlom však nastal až v 17. storočí, kedy pôsobili Leibniz a Newton, ktorých dnes pokladáme za objaviteľov diferenciálneho a integrálneho počtu.

Dlhšiu dobu sa vedú nekonečné debaty, ktorý z tejto dvojice ako prvý prišiel s dôležitými myšlienkami celého infinitezimálneho počtu. Vyzerá to však tak, že úplnú pravdu sa už nikdy nedozvieme. Jeden z najdôležitejších Leibnizových príspevkov bola jeho matematická notácia. Leibniz často trávil dni vymýšľaním najvhodnejšieho symbolu pre svoju myšlienku. Najhorší dôsledok rozporu medzi Newtonom a Leibnizom bolo rozdelenie matematikov na dva tábory, čo značne zabrzdilo britskú analýzu v porovnaní s kontinentálnou na veľký čas. Newtonova terminológia a notácia bola jasne menej flexibilná a pohodlná ako Leibnizova, napriek tomu bola umelo udržiavaná vo Veľkej Británii až do 19. storočia, kedy práca spolku Analytical Society konečne vyvrcholila úspechom v podobe zavedenie Leibnizového značenia na britských ostrovoch. Časť historikov v súčasnosti zastáva názor, že Newton objavil počet skôr ako Leibniz, ale Leibniz ho publikoval skôr. Je však nesporné, že obaja objavili infinitezimálny počet nezávisle od seba a tak sa to aj berie.

Menšie zásluhy na rozvoji diferenciálneho a integrálneho počtu sa pripisujú aj Barrowovi, Descartovi, Fermatovi, Huygensovi a Wallisovi. Uvažuje sa aj o japonskom matematikovi Kowa Sekimovi, ktorý žil približne v čase Newtona a Leibniza. Seki rozpracoval zopár základných princípov integrálneho počtu, ale v tom čase nebol na Západe vôbec známy.

Diferenciálny počet

Derivácia funkcie vyjadruje citlivosť jednej premennej (závislej) na inej premennej (nezávislej). Pre teleso, ktoré sa pohybuje konštantnou rýchlosťou, platí, že

$\mathrm {r{\acute {y}}chlos{\check {t}}} ={\frac {\mathrm {vzdialenos{\check {t}}} }{\mathrm {{\check {c}}as} }}$

Rýchlosť v aute vyjadruje zmenu polohy vzhľadom na zmenu času. Ale samotná rýchlosť sa môže časom meniť, čo vzorec uvedený vyššie nemôže zachytiť. Diferenciálny počet sa zaoberá s takýmito zložitejšími, ale prirodzenými a podobnými situáciami.

Diferenciálny počet určuje okamžitú rýchlosť v ľubovoľnom časovom okamihu (t. j. v konkrétnom bode na časovej osi), nie len priemernú rýchlosť počas nejakého časového intervalu. Vzorec Rýchlosť = Vzdialenosť/Čas aplikovaný na jeden časový moment sa, samozrejme, stane (na prvý pohľad) nezmyselným výrazom nula delené nulou. Tomuto však môžeme predísť skúmaním stále kratších časových intervalov.

Derivácia zodpovedá na túto otázku: ako sa časový interval blíži k nule, k čomu sa blíži priemerná rýchlosť počítaná podľa vzorca Vzdialenosť/Čas? V jazyku matematiky sme dostali príklad "zobratia limity" daného výrazu (pre dĺžku časového intervalu idúcu k nule).

Formálnejšie, diferenciálny počet definuje okamžitý pomer zmeny (deriváciu) funkčnej hodnoty vzhľadom na zmeny jej premennej. Derivácia sa definuje ako limita podielu rozdielov funkčných hodnôt a premennej.

Derivácia funkcie nám dáva informácie o malých zmenách na jej grafe. Priamo súvisí s hľadaním minima a maxima funkcie – pretože v týchto bodoch je graf funkcie "plochý" (t. j. smernica je nulová). Iná aplikácia diferenciálneho počtu je Newtonova metóda, čo je algoritmus hľadania koreňov funkcie jej aproximáciou dotyčnicami. Diferenciálny počet bol už aplikovaný na mnoho otázok, ktoré pôvodne ani neboli sformulované v jazyku infinitezimálneho počtu.

Derivácie sú srdcom celej fyziky. Newtonov pohybový zákon, Sila = Hmotnosť × Zrýchlenie, má v infinitezimálnom počte zmysel, pretože zrýchlenie je derivácia (rýchlosti podľa času). Maxwellova teória elektromagnetizmu a Einsteinova teória relativity sú takisto vyjadrené jazykom diferenciálneho počtu, tak ako základná teória elektrických obvodov a veľká väčšina inžinierskych vied.

Integrálny počet

Určitý integrál vyhodnocuje kumulatívny efekt veľa veľmi malých zmien veličiny. Najjednoduchší prípad je vzorec:

$\mathrm {vzdialenos{\check {t}}} =\mathrm {r{\acute {y}}chlos{\check {t}}} \times \mathrm {{\check {c}}as}$

pre výpočet vzdialenosti, ktorú prejde auto za určitý čas, keď sa pohybuje konštantnou rýchlosťou. Prejdená vzdialenosť je súčet (kumulatívny efekt) veľmi malých vzdialeností, ktoré auto prejde počas každej z mnoho sekúnd na ceste. Infinitezimálny počet je schopný sa vysporiadať s prirodzenou situáciou, kedy sa auto pohybuje meniacou sa rýchlosťou.

Integrálny počet dokáže určiť presnú vzdialenosť, ktorú prejde auto v danom časovom intervale, vytvorením postupnosti lepších a lepších aproximácií, nazývaných Riemannove súčty, ktoré sa približujú presnej vzdialenosti.

Formálnejšie, hovoríme, že určitý integrál ohraničenej funkcie definovanej na intervale je limitou Riemannových súčtov (pre dĺžky Riemannových sumandov idúcich k nule).

Aplikácie integrálneho počtu sa vynárajú všade, kde je problémom spočítať číslo, ktoré je v princípe (približne) rovné sume riešení veľa, veľa menších problémov.

Klasická geometrická aplikácia je počítanie plôch. Plochu nejakého rovinného útvaru môžeme aproximovať jej rozdelením na veľa veľmi úzkych štvorcov, ktorých plochy sčítame. (V prípade, že útvar má zakrivenú hranicu, nedopustíme sa veľkej chyby, ak štvorce prekrývajúce hrany nezarátame alebo naopak, ich zarátame.) Povrchy a objemy telies môžeme takisto vyjadriť ako určité integrály.

Veľa funkcií, ktoré integrujeme, vyjadrujú pomery, ako napr. rýchlosť. Integrál pomeru zmeny veličiny na časovom intervale nám hovorí, ako rýchlo sa veličina mení počas tohto intervalu. Keď poznáme okamžitú rýchlosť v každom okamihu na celom intervale, má zmysel sa pýtať, ako ďaleko sme vlastne touto rýchlosťou zašli v tomto časovom intervale. Určitý integrál okamžitej rýchlosti dáva na túto otázku odpoveď.

Iné funkcie, ktoré často integrujeme, reprezentujú hustoty a koncentrácie. Keď napríklad poznáme koncentráciu znečistenia v každom bode rieky (tony na kilometer), potom integrál tejto koncentrácie určuje celkové znečistenie na celej dĺžke rieky.

Pravdepodobnosť je pravdepodobne najdôležitejšou z aplikácií integrálneho počtu.

Základy

Rigorózne základy infinitezimálneho počtu sú založené na pojme funkcie a limity. Limity funkcií sú rozpracované v samostatnej teórii založenej na spojitej štruktúre reálnych čísel (kontinuum).

Moderné štúdium základov infinitezimálneho počtu poznáme ako reálnu analýzu. Zahŕňa v sebe plné definície a dôkazy viet diferenciálneho a integrálneho počtu. Takisto poskytuje rôzne zovšeobecnenia, ako napr. teória miery alebo teória distribúcie.

Základná veta infinitezimálneho počtu

Základná veta infinitezimálneho počtu v princípe hovorí, že derivácia a integrál sú, v určitom zmysle, navzájom inverzné operácie. Presnejšie, antiderivácie sa dajú počítať prostredníctvom určitých integrálov a naopak.

Toto spojenie nám umožňuje zrekonštruovanie celkového správania sa funkcie (totálnej zmeny) na nejakom intervale zo znalosti okamžitých pomerov zmien a ich integráciou.

Tento poznatok, objavený tak Newtonom, ako aj Leibnizom, bol kľúčom k masívnemu rozširovaniu analytických výsledkov po uverejnení ich práce.

Základná veta poskytuje algebrické metódy na počítanie určitých integrálov – a to bez nutnosti robenia limitných prechodov – hľadaním vzorcov pre neurčité integrály (antiderivácie, primitívne funkcie). Poskytuje takisto prototypové riešenie diferenciálnych rovníc. Diferenciálna rovnica je matematická rovnica, v ktorej ako neznáme vystupujú derivácie funkcií. Sú naozaj všadeprítomné v takmer všetkých vedách.

Prvá základná veta infinitezimálneho počtu: Nech funkcia f je spojitá na intervale <a, b> a F je k nej primitívna funkcia na tomto intervale, potom

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Druhá základná veta infinitezimálneho počtu: Nech f je spojitá funkcia na otvorenom intervale I obsahujúcom bod a, potom pre každé x tohto intervalu platí

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$

Aplikácie

Vývoj a použitie diferenciálneho a integrálneho počtu malo a má ďalekosiahle dôsledky na skoro všetky aspekty moderného bytia. Je prítomný takmer vo všetkých vedách, hlavne vo fyzike. Prakticky všetky moderné výdobytky, ako stavebné techniky, letectvo a iné technológie používajú infinitezimálny počet priamo vo svojich základoch. Veľa algebrických vzorcov, ktoré sú dnes používané v balistike, energetike a iných praktických vedách, boli odvodené prostredníctvom diferenciálneho a integrálneho počtu.

Úspech infinitezimálneho počtu sa preniesol časom na diferenciálne rovnice, vektorový počet, variačný počet, komplexnú analýzu a diferenciálnu topológiu.

Literatúra

• Robert A. Adams. (1999) ISBN 0-201-39607-6 Calculus: A complete course.
• Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7,
• Tom M Apostol. (1967) ISBN 0-471-00005-1 and ISBN 0-471-00007-8 Calculus, 2nd Ed. Wiley.
• John L. Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-62401-0. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals
• Carl B. Boyer. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development.
• James M. Henle and Eugene M. Kleinberg: Infinitesimal Calculus, Dover Publications 2003. ISBN 0-486-42886-9. Uses nonstandard analysis and hyperreal infinitesimals
• Keisler, H. Jerome. (1986) Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. The text is available here under a creative commons non commercial license.
• Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004
• Cliff Pickover. (2003) ISBN 0-471-26987-5 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
• Michael Spivak. (Sept 1994) ISBN 0-914098-89-6 Calculus. Publish or Perish publishing.
• Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998) ISBN 0-312-18548-0 Calculus Made Easy.
• Mathematical Association of America. (1988) Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.

Externé odkazy

• A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, Keith Duncan Stroyan, University of Iowa.
• Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, H. Jerome Keisler, rozpredaná kniha na webe.
• MathWorld general article on calculus
• Madhava of Sangamagramma
• Online Integrator by Mathematica
• The Role of Calculus in College Mathematics Archivované 2021-07-26 na Wayback Machine
• Work of Bhaskaracharya II