Otvoriť hlavné menu

Diferenciálna rovnica je matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a sú používané vo väčšine oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

DefiníciaUpraviť

Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare
 
Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.

Druhy diferenciálnych rovnícUpraviť

Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:

Rád diferenciálnej rovniceUpraviť

Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá.

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach.

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie  , ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

PríkladyUpraviť

1. príkladUpraviť

Typickým príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je rovnica
 
kde pod   rozumieme deriváciu funkcie  . Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu  :
 

Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:

 

Poznámka: Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov:

 
 

Poznámka: Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia  

Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu  :

 
V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka  .

2. príkladUpraviť

Riešme diferenciálnu rovnicu   bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že   oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:

 

Premenné sú oddelené, môžeme integrovať   a dostaneme rovnicu:

 [1]

ReferencieUpraviť

  1. KLUVÁNEK, I.. Prípravný kurz k diferencialnému a integrálnemu počtu [online]. Ružomberok : Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2006, [cit. 2006-09-04]. ISBN 80-8084-069-5.