Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

DefiníciaUpraviť

Nech   je náhodná premenná, nech  , a nech   a  prirodzené čísla. Hovoríme, že   má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s   a   stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:

 

kde označenie   označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

 

Označenie:

  •  

Ďalšie vyjadreniaUpraviť

Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch  -kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné   a  , ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že   -kvadrát rozdelenie s   stupňami voľnosti a   nech má  -kvadrát rozdelenie s   stupňami voľnosti, teda:   a  . Potom náhodná premenná   definovaná vzťahom:

 

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s   a   stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber   z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie  , ďalej majme náhodný výber   z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie  . Nech   a   sú výberové rozptyly a nech pre  ,  ,   a   platí nasledovné:

  •  
  •  
  •  

Potom náhodná premenná   definovaná vzťahom:

 

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s   a   stupňami voľnosti (alebo:  -stupňami voľnosti).

VlastnostiUpraviť

Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.
Pokiaľ má náhodná premenná   Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej   začiatočný moment má nasledovný tvar:

 

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej   s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:

  ; pre  

  ; pre  

Kritická hodnotaUpraviť

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech   je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s   a   stupňami voľnosti. Potom hodnotu  , ktorú náhodná premenná   presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou   nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

 

Externé odkazyUpraviť

ZdrojeUpraviť

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.