Gradient (matematika)

Gradient (priamy preklad z angličtiny: sklon, spád) je zovšeobecnenie sklonu (strmosti) funkcie pre viacero premenných. Je to vektor prvých derivácií podľa jednotlivých premenných skalárnej funkcie resp. (presnejšie) zovšeobecnenie takéhoto vektora pre prípady, kde je namiesto skalárnej funkcie tenzor vyššieho rádu (Napríklad ak je namiesto skalárnej funkcie vektorová funkcia, t.j. tenzor prvého rádu, je gradient príslušná Jacobiho matica).

Ilustrácia gradientu (vpravo) plochy definovanej rovnicou F(x,y) = x² - y² (vľavo)

Smer gradientu je smerom najväčšej zmeny danej funkcie.

Matematický opis pre gradient aplikovaný na skalárnu funkciu s premennými priestorové súradnice

Aplikáciou gradientu na skalárne pole dostaneme vektorové pole.

Matematická definícia

Gradient sa značí symbolom $\nabla$ (nabla), niekedy ho však označujeme jednoducho grad. Pre skalárne pole $\phi (x,y,z)$ počítame jeho gradient $\nabla \phi$ pomocou vzťahu (symbol $\partial$ označuje parciálnu deriváciu)

$\nabla \phi ={\Big (}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\Big )}.$

Samotný vektorový operátor gradientu môžeme preto zapísať ako

$\nabla ={\Big (}{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}{\Big )}$

Vlastnosti gradientu

Ak sú F,G vektorové polia, f,g funkcie, a,b reálne čísla, má gradient nasledujúce vlastnosti:

Je lineárny voči reálnym číslam

$\nabla \left(af+bg\right)=a\nabla f+b\nabla g\,,$

spĺňa Leibnizove pravidlo pre funkcie

$\nabla \left(fg\right)=\left(\nabla f\right)g+f\nabla g\,,$

gradient skalárneho súčinu vektorov spĺňa

$\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)=\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} +\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} +\mathbf {F} \times \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)+\mathbf {G} \times \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\,,$

kde ∇ × F je rotácia vektorového poľa F.

Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie gradientu v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je funkcia f skalárne pole v daných súradniciach a striežkované tučné znaky súradníc sú jednotkové vektory bázy v daných súradniciach, potom platí

Vo valcových súradniciach:

$\nabla {f}={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}.$

Vo sférických súradniciach:

$\nabla {f}={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

Ak používame všeobecné ortogonálne súradnice x₁,x₂,x₃, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h₁,h₂,h₃

$\nabla {f}={\frac {1}{h_{1}}}{\partial f \over \partial x_{1}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\partial f \over \partial x_{2}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\partial f \over \partial x_{3}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}.$

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora gradientu platí

$\nabla {f}=f_{;k}{\boldsymbol {\mathrm {d} }}x^{k},\nabla {f}=f_{;i}g^{ik}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}=f^{;k}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}$

Tu je potrebné poznamenať, že zatiaľ čo v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všobecné súradnice používáme bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne sa píše akú.

Príklad výpočtu

Zoberme si $\phi (x,y,z)=xy^{2}+z$. Gradient takéhoto poľa je

$\nabla \phi =(y^{2},2xy,1)$

(na prvom mieste je derivácia $\phi$ podľa $x$, na druhom podľa $y$, na treťom podľa $z$).

Názorné vysvetlenie

Začneme pojmom skalárne pole z úvodného odseku. To v skutočnosti neznamená nič iné než mať priradené číslo (skalár) každému bodu priestoru. Z bežného života si môžeme predstaviť miestnosť a meranie teploty v nej (pri okne je chladnejšie ako nad radiátorom). Skalárne pole $T(x,y,z)$ nám potom udáva teplotu v bode miestnosti so súradnicami $(x,y,z)$. Úlohou gradientu je do každého bodu priestoru položiť vektor (šípku) ukazujúci, ktorým smerom teplota najviac rastie. No a priestor, ktorý má v každom bode vektor nazývame vektorové pole. Veľkosť vektora je určená veľkosťou rastu teploty v danom smere – čím rýchlejšie sa teplota mení, tým väčší je vektor. Môžeme teda zhrnúť, že aplikáciou gradientu na skalárne pole teda dostávame vektorové pole.

Podobne si môžeme namiesto trojrozmernej miestnosti predstaviť niečo jednoduchšie – dvojrozmernú plochu. Kopec potom vieme matematicky vyjadriť pomocou funkcie $h(x,y)$ vyjadrujúcej výšku kopca nad bodom so súradnicami $(x,y)$. Gradient opäť ukazuje smer najprudšieho stúpania v danom bode kopca (je dobré si uvedomiť, že tento smer nemusí byť totožný so smerom k vrcholu kopca).