Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácieUpraviť

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahyUpraviť

Nech   je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi  . To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov  , že systém   má riešenie. Hľadáme také vektory   s vlastnosťou

 

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Proces ortogonalizácieUpraviť

OrtogonalizáciaUpraviť

Najprv teda položíme  . Postupujeme ďalšími vektormi, pričom sú dané rekurentným vzťahom

 

čo možno ekvivalentne prepísať do sumačného zápisu

 

Treba poznamenať vlastnosť  , kde  . Samotný ortogonalizačný proces využíva k ortogonalizácii operátor projekcie, ktorý je definovaný

 

Ortogonálnou projekciou vektora   na priestor generovaný vektorom   nazývame vektor   a platí  . Týmto spôsobom sa nájde ortogonálna projekcia daného vektora. Vektor ortogonálny na priestor generovaný vektorom   je potom rozdiel  . Platí teda, že skalárny súčin   je nulový.

NormalizáciaUpraviť

Ortogonalizované vektory sa následne normalizujú na spoločnú jednotkovú dĺžku. Po tomto, dostaneme výsledný ortonormálny vektor  , preto môžeme písať

 

Ide o symbolický zápis súčinu každej zložky vektora   prevrátenou hodnotu normy tohto vektora. Odtiaľ

 

Pod normou vektora   sa chápe norma definovaná nasledovne

 

PríkladUpraviť

Majme vektorový priestor   generovaný dvojicou lineárne nezávislých vektorov  . Postupujeme najprv voľbou  . Teraz od tohto vektora bude závisieť druhý. Použijeme vzťah pre ortogonalizáciu ďalších vektorov a dostávame rovnosť

 

Výsledný vektor je ortogonálny vektor k vektoru  . Teraz ho treba znormalizovať. Vektory generujú obyčajný euklidovský dvojrozmerný priestor, stačí preto použiť euklidovskú normu

 

Výsledný ortonormálny vektor bázy bude mať tvar

 

Podobným spôsobom sa znormalizuje vektor  , ktorého norma je   a odtiaľ

 

Ľahko možno skalárnym súčinom overiť, že vektory sú skutočne ortogonálne.

Použitie ortogonalizácie na iné priestoryUpraviť

Gram-Schmidtov proces sa však nemusí používať výlučne pre euklidovské priestory  . Môže sa použiť taktiež na ortogonalizáciu funkcií v priestore funkcií so skalárnym súčinom

 

Pomocou ortogonalizačného procesu možno vytvoriť Legendrove polynómy, ktoré sú prvky priestoru funkcií so skalárnym súčinom

 

Externé odkazyUpraviť