Otvoriť hlavné menu

Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovboľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Obsah

DefiníciaUpraviť

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému  ,   priradený prvok  , pričom:

1)   je komutatívna grupa

pre ľubovoľné  ,     V a c,d   F platí:

2)   (distributívny zákon)
3)  
4)   (asociativita)
5)  

potom   je vektorový priestor nad poľom  .

Vektorové priestory vo fyzikeUpraviť

Bra-Ket formalizmusUpraviť

Vektory   tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

 

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty   komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

 ,

kde hviezdička   označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechanikyket-vektory   vlnové funkcie   a bra-vektory   sú komplexne združené vlnové funkcie  . Skalárny súčin

 

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor   a bra-vektor  . Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

 .

Dôsledkom toho je, že   je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

 .

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že   zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru  . V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

 , ktorý má zjavne vlastnosť  , rovnako ako

  má vlastnosť  , pretože   je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že   a   vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo  .

Pozri ajUpraviť