Ortonormálna báza

Ortonormálna báza unitárneho priestoru je pojem z lineárnej algebry a fukcionálnej analýzy, označuje podpriestor tohto vektorového priestoru, ktorého prvky sú normované a navzájom ortogonálne.

Tento pojem je dôležitý pre konečno rozmerné ako aj nekonečno rozmerné priestory a špeciálne pre Hilbertové priestory.

Konečno rozmerné priestoryUpraviť

Nech   je konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor so skalárnym súčinom  , ktorý indukuje normu:  . Pod ortonormálnou bázou priestoru   potom rozumieme bázu   z   s týmito vlastnosťami:

  •   pre všetky  .
  •   pre všetky   s  .

Napríklad nasledujúca množina je ortonormálnou bázou euklidovského vektorového priestoru   (spolu s prirodzene definovaným skalárnym súčinom).

 

Každý z týchto vektorov má dĺžku 1 a všetky sú na seba kolmé pretože ich skalárny súčin je nula.

Všeobecný prípadUpraviť

Vo všeobecnom prípade unitárneho priestoru   nekonečnej dimenzie, nazývame ortonormálnym systémom   vo   taký systém, ktorého lineárny obal leží husto vo  .

Úplný ortonormálny systém   má preto tú vlastnosť, že pre každý prvok   môžeme písať fourierov rozvoj:

 .

Je dôležité zdôrazniť, že v zmysle tohto odseku, v protiklade k prípadu s konečnou dimenziou, nie je ortonormálna báza žiadnou bázou v bežnom zmysle lineárnej algebry. To znamená, že prvok   sa nedá vo všeobecnosti napísať ako lineárna kombinácia konečného počtu bázových vektorov (prvkov z  ), ale len ako suma spočítateľného nekonečného počtu prvkov z  , teda ako nekonečný rad. Inými slovami: Lineárny obal nie je rovný priestoru  , leží ale husto v tomto priestore.

Pozri ajUpraviť