Greenova-Taova veta

Greenova-Taova veta je veta z oblasti aditívnej teórie čísel, podľa ktorej množina prvočísel obsahuje konečné aritmetické postupnosti ľubovolnej dĺžky. Inak povedané, pre každé prirodzené číslo $k$ existuje $k$-prvková aritmetická postupnosť pozostávajúca výhradne z prvočísel. Greenova-Taova veta je špeciálnym prípadom Erdősovej-Turánovej hypotézy.

Historické poznámky

• Vetu dokázali Ben Green a Terence Tao v roku 2004.
• V roku 2006 dokázali Tao a Tamar Ziegler silnejšie tvrdenie, podľa ktorého pre ľubovoľnú $k$-ticu polynomických funkcii bez absolútneho člena $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{k}$ nadobúdajúcich iba celočíselné hodnoty existuje nekonečne veľa celých čísel $x$ a $m$ takých, že všetky hodnoty $x+P_{1}(m),x+P_{2}(m),\ldots ,x+P_{k}(m)$ sú prvočíselné.

Zaujímavosti

Greenova-Taova veta je príkladom existenčného tvrdenia. Veta iba garantuje existenciu podpostupnosti určitej dĺžky, nehovorí však nič o tom, ako táto postupnosť vyzerá. Nájsť príklad dostatočne dlhej aritmetickej postupnosti v prvočíslach nie je jednoduchá úloha. Ku dňu 18.1.2007 je najdlhšou známou aritmetickou postupnoťou v prvočíslach 24-prvková postupnosť

$\{468395662504823+205619\cdot 223092870\cdot n\}_{n=0,1,\ldots ,23}$

Pozri aj

• Szemerédiho veta
• Terence Tao

Externé odkazy

• Komentáre na MathWorld-e (anglicky)