Szemerédiho veta

Szemerédiho veta hovorí, že každá podmožina prirodzených čísel s kladnou hornou asymptotickou hustotou obsahuje konečné aritmetické postupnosti lubobovolnej dĺžky. Szemerédiho veta zovšeobecnuje van der Waerdenovu vetu.

HistóriaUpraviť

Tvrdenie Szemerédiho vety navrhol ako zaujímavú hypotézu Paul Erdős a Paul Turán v roku 1936.

História postupného dokazovania Szemerédiho vety sa odvíja od maximálnej dĺžky   konečných aritmetických podpostupností ktoré predchodcovia Szemerédiho vety v podmnožine prirodzených čísel garantovali.

  • Prípady   a  , teda tvrdenia garantujúce existenciu jedno a dvojprvkových postupností sú triviálne, pretože lubovoľné číslo alebo lubovoľná dvojica čísel tvorí triviálnu konečnú aritmetickú postupnosť.
  • Prípad   zodpovedal pozitívne Klaus Roth v roku 1956.
  • Prípad   pozitívne zodpovedal Endre Szemerédi v roku 1969.
  • V roku 1972 prípad   vyriešil aj Roth použijúc metódu podobnú tej, ktorou predtým vyriešil prípad  .
  • Pre lubovoľné   tvrdenie nakoniec dokázal Szemerédi v roku 1975.
  • V roku 1977 podal Hillel Furstenberg doležitý alternatívny dôkaz Szemerédiho vety založený na ergodickej teórii.
  • V roku 2001 podal Timothy Gowers iný alternatívny dôkaz.

Pozri ajUpraviť