Asymptotická hustota
Asymptotická hustota je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota množiny prirodzených čísel definovaná vzťahom
kde je počet všetkých prvkov množiny , ktoré sú menšie než prirodzené číslo . Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.
Horná a dolná asymptotická hustota
upraviťHorná asymptotická hustota podmnožiny prirodzených čísel je číslo
zatiaľ čo jej dolná asymptotická hustota je
Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre každú podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.
Príklady
upraviť- Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
- Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
- Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných čísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
- Množina všetkých členov aritmetickej postupnosti {an+b} s diferenciou a má asymptotickú hustotu 1/a.
- Množina štvorcov alebo množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
- Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je
- .
- O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].
Vlastnosti
upraviť- Ak množina má asymptotickú hustotu, potom platí , kde je komplement množiny vzhľadom k množine prirodzených čísel. Pre hornú a dolnú hustotu máme .
- Pre ľubovoľnú podmnožinu prirodzených čísel platí .
- Pre disjunktné množiny platí
Špeciálne, ak aj majú hustotu, tak dostaneme . Teda asymptotická hustota je konečne aditívna.
Literatúra
upraviť- KOLIBIAR, Milan; LEGÉŇ, Anton; ŠALÁT, Tibor; ZNÁM, Štefan. Algebra a príbuzné disciplíny. Bratislava : Alfa, 1992. ISBN 80-05-00721-3.