Asymptotická hustota

Asymptotická hustota je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota množiny prirodzených čísel definovaná vzťahom

kde je počet všetkých prvkov množiny , ktoré sú menšie než prirodzené číslo . Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.

Horná a dolná asymptotická hustotaUpraviť

Horná asymptotická hustota podmnožiny   prirodzených čísel je číslo

 

zatiaľ čo jej dolná asymptotická hustota je

 

Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre každú podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.

PríkladyUpraviť

 .
  • O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].

VlastnostiUpraviť

  • Ak množina   má asymptotickú hustotu, potom platí  , kde   je komplement množiny   vzhľadom k množine prirodzených čísel.

Pozri ajUpraviť