Herónov vzorec

Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.

VzorecUpraviť

Ak sú   dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah  , kde   je polovičný obvod trojuholníka.

DôkazUpraviť

 

Označme   vzdialenosť vrcholu   od päty kolmice z vrcholu   na stranu   (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:

 

 

Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:

 

Z tohto vzťahu vyjadríme  :

 

Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto   dáva   (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme  , získame výšku  :

 

 

 

 

 

Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka  , dostaneme:

 

Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:

 

 

 

Dosadíme polovičný obvod  ,   a dostávame výsledný vzorec:

 

 

 

HistóriaUpraviť

Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.[1]

PoznámkyUpraviť

  • Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety.
  • Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.

ReferencieUpraviť

Pozri ajUpraviť

Externé odkazyUpraviť

ZdrojUpraviť

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Heronův vzorec na českej Wikipédii.