Otvoriť hlavné menu

Definícia trojuholníkaUpraviť

Trojuholník môžeme definovať ako prienik troch polrovín.
Ak máme tri rôzne body A, B, C, (ktoré neležia na jednej priamke) tak trojuholníkom s vrcholmi A, B, C nazývame prienik polrovín ABC, ACB, BCA.
Úsečky AB, BC, CA sú stranami tohto trojuholníka a ich zjednotenie je obvod trojuholníka.

Pre strany trojuholníka musí platiť trojuholníková nerovnosť, t. j., že súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany, teda:

  •  
  •  
  •  

Klasifikácia trojuholníkovUpraviť

Trojuholníky možno triediť podľa viacerých kritérií:

Podľa dĺžky jeho strán

  • Rovnostranný trojuholník – všetky strany majú rovnakú dĺžku. Rovnostranný trojuholník je tiež rovnouhlý, t. j. všetky jeho vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť, a to 60°; je to pravidelný mnohoulník.[1]
  • Rovnoramenný trojuholník – má práve dve strany rovnakej dĺžky. Rovnoramenný trojuholník má tiež dva rovnaké vnútorné uhly (sú to uhly, v ktorých obe rovnaké strany sa napájajú na tretiu-základňu).
    Rovnostranný trojuholník je tiež rovnoramenným, ale nie každý rovnoramenný trojuholník je rovnostranný.[2]
  • Rôznostranný trojuholník – všetky strany majú rozličnú dĺžku. Jeho vnútorné uhly sú taktiež rozdielne.[3]
     
Rovnostranný Rovnoramenný Rôznostranný

Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla:

     
Pravouhlý Tupouhlý Ostrouhlý

VlastnostiUpraviť

Výška trojuholníkaUpraviť

 
Výšky a ortocentrum ostrouhlého trojuholníka.

Je to úsečka na priamke prechádzajúcej vrcholom trojuholníka a je kolmá na protiľahlú stranu. V ľubovoľnom trojuholníku prechádzajú všetky tri výšky jedným bodom, ktorý nazývame ortocentrum. Ortocentrum má polohu:

  • vnútri trojuholníka – ak je trojuholník ostrouhlý,
  • na vrchole pravého uhla – ak je trojuholník pravouhlý,
  • mimo trojuholníka – ak je trojuholník tupouhlý.

Výpočet výšky trojuholníka:

 
 
 

Ťažnice trojuholníkaUpraviť

 
Ťažnice trojuholníka a ťažisko.

Ťažnice sú úsečky, ktoré spájajú vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán. Prechádzajú jedným bodom, ktorý voláme ťažisko. Ťažisko delí každú z ťažníc v pomere 2 : 1, pričom dlhšia časť je medzi vrcholom a ťažiskom, a kratšia časť medzi ťažiskom a stredom strany.

Stredné priečky trojuholníkaUpraviť

 
Stredné priečky trojuholníka.

Sú to spojnice stredov dvoch strán a sú rovnobežné s treťou stranou trojuholníka. Veľkosť strednej priečky sa rovná polovičnej veľkosti strany trojuholníka, s ktorou je rovnobežná. Stredná priečka trojuholníka delí trojuholník na dve časti, ktorých obsahy sú v pomere 1 : 3

.

Kružnica opísaná trojuholníkuUpraviť

 
Kružnica opísaná trojuholníku.

Je to kružnica, ktorá obsahuje vrcholy daného trojuholníka. Stredom kružnice opísanej trojuholníku ABC je priesečník osí strán trojuholníka ABC. Polomer je spojnica stredu s ľubovoľným vrcholom.
Polomer opísanej kružnice:

 

Kružnica vpísaná trojuholníkuUpraviť

 
Kružnica vpísaná trojuholníku.

Je to kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán daného trojuholníka. Stredom kružnice vpísanej trojuholníku ABC je priesečník osí uhlov trojuholníka ABC (a leží vždy vnútri trojuholníka!). Polomer je vzdialenosť stredu od ľubovoľnej strany trojuholníka.
Polomer vpísanej kružnice:

 

alebo  ; o = obvod trojuholníka, S = obsah trojuholníka

Osi stránUpraviť

Priamky, ktoré prechádzajú stredom strán trojuholníka a sú na ne kolmé, nazývame osi strán. Pretínajú sa v jednom bode, ktorý je stredom opísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka).

Osi vnútorných uhlovUpraviť

Pretínajú sa v jednom bode, ktorý tvorí stred vpísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých strán trojuholníka).

Vzťahy platiace v trojuholníkuUpraviť

Výpočet obsahuUpraviť

Vzorec pre výpočet obsahu trojuholníka vyzerá nasledovne:   pričom a, b, c sú strany trojuholníka a  ,  ,   sú výšky kolmé na prislúchajúcu stranu.

Obsah však možno vypočítať aj Herónovým vzorcom:  , kde  
Obsah trojuholníka pomocou vnútorného uhla:  

Výpočet obvoduUpraviť

Obvod trojuholníka sa rovná súčtu všetkých troch strán trojuholníka. Platí:  

Zhodnosť trojuholníkovUpraviť

Dva trojuholníky môžu byť zhodné podľa troch viet o zhodnosti: sss, sus, usu.

  • Veta (sss): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých troch stranách, sú zhodné.
  • Veta (sus): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom sú zhodné.
  • Veta (usu): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.
  • Veta (ssu): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle ležiacom oproti väčšej z nich, sú zhodné.

Pravouhlý trojuholníkUpraviť

Pravouhlý trojuholník je špeciálny prípad trojuholníka, v ktorom platia špeciálne vzťahy (tieto vzťahy neplatia v ostatných 2 typoch trojuholníka.)
Vlastnosti pravouhlého trojuholníka

  • jeden z vnútorných uhlov má 90 stupňov
  • súčet ostatných dvoch ostrých uhlov je tiež 90 stupňov
  • pravouhlý trojuholník má dve odvesny a jednu preponu. Prepona je najdlhšia strana trojuholníka a je vždy oproti pravému uhlu.
  • keďže odvesny sú na seba kolmé, obsah pravouhlého trojuholníka možno vypočítať aj takto:  , kde a, bodvesny pravouhlého trojuholníka

Vzťahy platiace v pravouhlom trojuholníku

  • Pytagorova veta: Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma jeho odvesnami. Z toho vyplýva vzorec:  .
  • Tálesova veta: Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou AC je kružnica s priemerom AC s výnimkou bodov A a C.
  • Euklidova veta o výške: Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka spustenou na preponu sa rovná obsahu pravouholníka, ktorého strany sú úseky na prepone priľahlé k odvesnám.
 
  • Euklidova veta o odvesne: Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdlžníka zostrojeného z prepony a úseku na prepone priľahlého k odvesne. Pre jednotlivé odvesny trojuholníka teda platí:
 
 
Pytagorova veta    
Euklidova veta o odvesne  
 
 
Euklidova veta o výške  

Ďalšie vzťahy platiace v trojuholníkochUpraviť

Sínusová vetaUpraviť

Znenie sínusovej vety:

  • Pre každý trojuholník ABC s vnútornými uhlami α, β, γ a stranami a, b, c platí:
 

Čiže:

  • Pomer všetkých dĺžok strán a hodnôt sínusov im protiľahlých uhlov je v trojuholníku konštantný.
  • Pomer dĺžok strán trojuholníka sa rovná pomeru sínusov im protiľahlých uhlov:
 

Kosínusová vetaUpraviť

Kosínusová veta má tri základné varianty:

  •  
  •  
  •  

ReferencieUpraviť

Pozri ajUpraviť

Iné projektyUpraviť

Externé odkazyUpraviť