Otvoriť hlavné menu

Mnohouholník alebo polygón alebo n-uholník je časť roviny vymedzená úsečkami, ktoré spájajú určitý počet bodov (najmenej tri), z ktorých žiadne tri susedné neležia na jednej priamke. Inak povedané: mnohouholník je obmedzená časť roviny ohraničená uzatvorenou lomenou čiarou.

Obsah

VšeobecneUpraviť

Body, ktoré určujú mnohouholník, sa nazývajú vrcholy mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú susedné vrcholy, sa nazývajú strany mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú nesusedné vrcholy, sa nazývajú uhlopriečky. Uhly, ktoré zvierajú susedné strany, sa nazývajú vnútorné uhly mnohouholníka. Počet vrcholov, strán a vnútorných uhlov v jednom mnohouholníku je rovnaký a tento počet určuje názov mnohouholníka: trojuholník, štvoruholník, päťuholník atď.

ZnázornenieUpraviť

Mnohouholník sa znázorňuje pomocou jeho vrcholov a strán, označuje sa vymenovaním vrcholov v ich presnom poradí. Pri špeciálnych mnohouholníkoch (trojuholník, štvorec, obdĺžnik a pod.) sa v zápise pred vymenovaním vrcholov umiestňuje príslušný symbol (Δ a pod.). Vrcholy, strany a uhly mnohouholníka sa zapisujú rovnakým spôsobom ako body, úsečky a uhly.

Druhy mnohouholníkovUpraviť

Okrem mnohouholníkov líšiacich sa počtom vrcholov, sa mnohouholníky delia na:

  • pravidelné (všetky strany a vnútorné uhly sú zhodné) a nepravidelné.
  • konvexné (všetky vnútorné uhly sú menšie ako 180°) a nekonvexné (aspoň jeden vnútorný uhol je väčší ako 180°)

VlastnostiUpraviť

Obvod mnohouholníka   sa vypočíta ako súčet všetkých jeho strán:  , kde   sú jednotlivé strany mnohouholníka.

Obsah všeobecného mnohouholníka   sa vypočíta pomocou rozloženia mnohouholníka na vhodné vzájomne sa neprekrývajúce trojuholníky, obdĺžniky alebo štvorce, ktorých obsahy   sa vypočítajú podľa známych vzorcov a následne sa spočítajú:  

Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka je rovný  

Počet uhlopriečok všeobecného  -úholníka určíme zo vzťahu  

Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku opísaná. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva tetivový (jeho strany sú tetivami opísanej kružnice).

Vlastnosti pravidelného mnohouholníkaUpraviť

Veľkosť vnútorného uhla pravidelného  -uholníka má hodnotu  

Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná  

Pravidelnému mnohouholníku je možné opísať a zároveň vpísať kružnicu. Stredy oboch kružníc ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.

Ak označíme dĺžku strany pravidelného  -uholníka ako   a polomer opísanej kružnice ako  , potom polomer   vpísanej kružnice je možné určiť zo vzťahu  

 
Vpísaný a opísaný pravidelný n-uholník

Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka:

Vpísaný n-uholníkUpraviť

Pre vpísaný polygón platí:

v=|KW|

r=|KV|

 

Opísaný n-uholníkUpraviť

Pre opísaný polygón platí:

R=|KL|

r=|KV|

 [1][2][3]

ReferencieUpraviť

  1. K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky [online]. Banská Bystrica : Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-09-01]. ISBN 80-242-1227-7.
  2. P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-09-01].
  3. J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1 [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-09-01]. ISBN 80-8078-091-9.

Pozri ajUpraviť

Iné projektyUpraviť