Mnohouholník alebo polygón alebo n-uholník je časť roviny vymedzená úsečkami, ktoré spájajú určitý počet bodov (najmenej tri), z ktorých žiadne tri susedné neležia na jednej priamke. Inak povedané: mnohouholník je obmedzená časť roviny ohraničená uzatvorenou lomenou čiarou.

Všeobecne Upraviť

Body, ktoré určujú mnohouholník, sa nazývajú vrcholy mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú susedné vrcholy, sa nazývajú strany mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú nesusedné vrcholy, sa nazývajú uhlopriečky. Uhly, ktoré zvierajú susedné strany, sa nazývajú vnútorné uhly mnohouholníka. Počet vrcholov, strán a vnútorných uhlov v jednom mnohouholníku je rovnaký a tento počet určuje názov mnohouholníka: trojuholník, štvoruholník, päťuholník atď.

Znázornenie Upraviť

Mnohouholník sa znázorňuje pomocou jeho vrcholov a strán, označuje sa vymenovaním vrcholov v ich presnom poradí. Pri špeciálnych mnohouholníkoch (trojuholník, štvorec, obdĺžnik a pod.) sa v zápise pred vymenovaním vrcholov umiestňuje príslušný symbol (Δ a pod.). Vrcholy, strany a uhly mnohouholníka sa zapisujú rovnakým spôsobom ako body, úsečky a uhly.

 
Znázornenie mnohouholníka

Druhy mnohouholníkov Upraviť

Okrem mnohouholníkov líšiacich sa počtom vrcholov, sa mnohouholníky delia na:

  • pravidelné (všetky strany a vnútorné uhly sú zhodné) a nepravidelné.
  • konvexné (všetky vnútorné uhly sú menšie ako 180°) a nekonvexné (aspoň jeden vnútorný uhol je väčší ako 180°)

Vlastnosti Upraviť

Obvod mnohouholníka   sa vypočíta ako súčet všetkých jeho strán:  , kde   sú jednotlivé strany mnohouholníka.

Obsah všeobecného mnohouholníka   sa vypočíta pomocou rozloženia mnohouholníka na vhodné vzájomne sa neprekrývajúce trojuholníky, obdĺžniky alebo štvorce, ktorých obsahy   sa vypočítajú podľa známych vzorcov a následne sa spočítajú:  

Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka je rovný  

Počet uhlopriečok všeobecného  -úholníka určíme zo vzťahu  

Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku opísaná. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva tetivový (jeho strany sú tetivami opísanej kružnice).

Súčet uhlov všetkých trojuholníkov n uholníka dotýkajucich sa jeho stredu sa rovná 360°.

Vlastnosti pravidelného mnohouholníka Upraviť

Veľkosť vnútorného uhla pravidelného  -uholníka má hodnotu  

Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná  

Pravidelnému mnohouholníku je možné opísať a zároveň vpísať kružnicu. Stredy oboch kružníc ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.

Ak označíme dĺžku strany pravidelného  -uholníka ako   a polomer opísanej kružnice ako  , potom polomer   vpísanej kružnice je možné určiť zo vzťahu  

 
Vpísaný a opísaný pravidelný n-uholník

Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka:

Vpísaný n-uholník Upraviť

Pre vpísaný polygón platí:

v=|KW|

r=|KV|

 

Opísaný n-uholník Upraviť

Pre opísaný polygón platí:

R=|KL|

r=|KV|

 [1][2][3]

Referencie Upraviť

  1. K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-09-06]. ISBN 80-242-1227-7.
  2. P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-09-06].
  3. J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-09-06]. ISBN 80-8078-091-9.

Pozri aj Upraviť

Iné projekty Upraviť

  •   Commons ponúka multimediálne súbory na tému Mnohouholník