Priamka

jednorozmerný základný geometrický útvar

Priamka je jednorozmerný základný geometrický útvar.

Priamka je nekonečne tenká, nekonečne dlhá, dokonale rovná krivka (pojem krivka v matematike obsahuje aj „rovné krivky“). V euklidovskej geometrii pre každé dva rôzne body existuje práve jedna priamka, ktorá oboma prechádza. Táto priamka predstavuje najkratšiu spojnicu medzi dotyčnicovými bodmi.

Z fyzikálneho hľadiska je priamka trajektória fotónu neovplyvneného gravitáciou.

OznačovanieUpraviť

Priamka sa znázorňuje rovnou čiarou, označuje sa malým písmenom, napr.  . Priamka prechádzajúca dvoma bodmi   sa tiež označuje  .

Znázornenie:

 

Algebrický zápisUpraviť

Priamku v rovine môžeme algebricky opísať pomocou lineárnych rovníc alebo lineárnych funkcií.

Tento intuitívny koncept priamky môžeme formalizovať niekoľkými spôsobmi. Ak je geometria postavená axiomaticky (ako v Eukleidovych Základoch a neskôr vo Foundations of Geometry Dávida Hilberta), potom priamky nie sú vôbec definované, ale axiomaticky charakterizované svojimi vlastnosťami. "Všetko, čo spĺňa axiómy pre priamku, je priamka." Zatiaľ čo Eukleides definoval priamku ako "dĺžku bez šírky", v neskorších vyjadreniach túto hmlistú definíciu nepoužíval.

Eukleidovskom priestore Rn (a analogicky vo všetkých ostatných vektorových priestoroch) definujeme priamku L ako podmnožinu v tvare

 

kde a a bvektoryRn a b je nenulové. Vektor b udáva smer priamky a a je bod na priamke. Tú istú priamku môžeme definovať pomocou rôznych kombinácií a a b.

Rovinná priamkaUpraviť

R2 je každá priamka L popísaná lineárnou rovnicou v tvare

 

s konštantnými reálnymi koeficientami a, b a c takými, že a a b nie sú obidva súčasne nulové (pozri Lineárne rovnice pre iné tvary). Dôležité vlastnosti takto definovaných priamok sú ich sklon, priesečník s osou x a priesečník s osou y. Excentricita priamky je nekonečno.

Normálový vektor rovinnej priamkyUpraviť

Ak rovinnú priamku vyjadríme všeobecnou rovnicou v tvare[1]

 

kde a, b, c ∈ R, pričom a ≠ 0 ∨ b ≠ 0,

potom normálový vektor k priamke bude mať súradnice (a,b)

Smernicové vyjadrenie rovinnej priamkyUpraviť

Smernicové vyjadrenie priamky[2] so smernicou k, kde k ≠ 0, je:

 

Smernicové vyjadrenie priamky môžme získať tak, že ekvivalentnými úpravami všeobecnej rovnice rovinnej priamky vyjadríme y.

Priestorová priamkaUpraviť

R3 sa dá priamka L definovať ako priesečník dvoch rovín, pomocou sústavy ich lineárnych rovníc:

 

(definíciu je nutné rozšíriť o podmienky pre koeficienty   , ktoré zaručia, že roviny budú rôznobežné).

Parametrické vyjadrenieUpraviť

Priamka v Rn sa dá taktiež vyjadriť parametricky: priamka prechádzajúca bodom   so smerovým vektorom   je množina bodov  , pre ktoré existuje skalár k taký, že

 

Špeciálny prípad priamky je os.

Vzájomná poloha bodu a priamkyUpraviť

Tri alebo viac bodov, ktoré ležia na tej istej priamke, sa nazývajú kolineárne.

Ak ležia tri body na priamke, tak vždy leží práve jeden z nich medzi ostatnými dvoma. Ak leží bod   medzi bodmi   a  , potom bod   označíme ako vnútorný bod úsečky  .

Bod   ležiaci na priamke   ju delí na dve polpriamky. Ak je bod  vnútorným bodom jednej z polpriamok, potom pre túto polpriamku označujeme  . Opačnú polpriamku k polpriamke   značíme  .[3]

Vzájomná poloha priamokUpraviť

Dve rôzne priamky ležiace v tej istej rovine môžu byť buď rovnobežné a nikdy sa nepretnú (nemajú žiaden spoločný bod), alebo rôznobežné a pretnú sa v práve jednom bode, priesečíku. Dve roviny sa pretínajú v najviac jednej priamke, nazývanej priesečnica. Vo viacrozmerných priestoroch ale nemusia ani byť rovnobežné, ani sa pretínať, a nazývajú sa mimobežky.

Keď sa obe priamky rovnajú, hovoríme im, že sú totožné'.

Priamku rôznobežnú s rovnobežkami   označujeme ako priečku rovnobežiek  .

Prienik dvoch polpriamok   a   nazývame úsečkou a značíme  .[4]

ReferencieUpraviť

  1. http://www.galeje.sk/web_object/9507.pdf
  2. https://maths.cz/clanky/128-analyticka-geometrie-smernicova-rovnice-primky
  3. J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1 [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-09-16]. ISBN 80-8078-091-9.
  4. M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie [online]. Ružomberok : Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, [cit. 2013-09-16]. ISBN 978-80-561-0058-5.

Pozri ajUpraviť