Homomorfizmus grúp

Homomorfizmus grúp alebo morfizmus grúp alebo homomorfné zobrazenie grúp a je zobrazenie , pri ktorom pre všetky prvky platí , pričom je operácia grupy a operácia grupy (hovoríme tiež, že homomorfizmus zachováva operáciu).

Z tejto definície je možné odvodiť aj nasledujúce vlastnosti homorfizmu :

  • (daný homomorfizmus zobrazí neutrálny prvok grupy na neutrálny prvok grupy ),
  • (daný homomorfizmus zobrazí inverzie prvkov na inverzie ich funkčných hodnôt)[1]

IntuíciaUpraviť

Cieľom definovania homomorfizmu je zostrojiť funkcie, ktoré zachovávajú algebraické štruktúry. Ekvivalentnou definíciou homomorfizmu je: Funkcia   je homomorfizmus ak pre každé   také, že   máme  

Inými slovami, grupa   má v istom zmysle podobnú algebraickú štruktúru ako   a homomorfizmus   ju zachováva.

Typy homomorfizmov grúpUpraviť

  • Monomorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je injektívny.
  • Epimorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je surjektívny.
  • Izomorfizmus je homomorfizmus, ktorý je bijektívny (t.j. injektívny aj surjektívny). Ak medzi grupami   a   existuje izomorfizmus, hovoríme, že su dané grupy izomorfné, píšeme  . Ak sú dve grupy izomorfné, znamená to, že sú identické a líšia sa len v notácií ich prvkov.

Obraz a jadroUpraviť

Nech   je homomorfizmus grúp.

Potom množina   sa nazýva jadro homomorfizmu  . zvyčajne sa označuje   (z anglického slova kernel, respektíve z nemeckého kern). Ekvivalentne  .

Obrazom homomorfizmu   nazveme množinu   (označenie   pochádza z anglického slova image).

Jadro a obraz homomorfizmu môžu byť interpretované ako vyjadrenie, do akej miery je daný homomofizmus blízko izomorfizmu. Prvá veta o izomorfizme hovorí, že obraz homomorfizmu grúp   je izomorfný faktorovej grupe  .

ReferencieUpraviť

  1. ŠVÁBENSKÝ, Valdemar. Nauč sa matiku - abstraktná algebra [online]. 28.8.2015, [cit. 2018-02-04]. Dostupné online.

ZdrojeUpraviť

  • Július Korbaš: Lineárna algebra a geometria 1. Bratislava: Univerzita Komenského Bratislava, 2003 (definícia 1.5.6)