Princíp najmenšieho účinku

Princíp najmenšieho účinku je variačný princíp, podľa ktorého sa mechanický systém vyvíja takým spôsobom, ktorý minimalizuje účinok. Viedol k vytvoreniu Lagrangeovskej a Hamiltonovskej formulácie klasickej mechaniky. Tento princíp zrejme prvýkrát formuloval francúzsky fyzik Pierre-Louis Moreau de Maupertuis v rokoch 1744 a 1746. Podobné myšlienky však boli v rámci optiky rozvíjané už v starovekom Grécku, dnes ich poznáme (v omnoho presnejšej podobe) pod názvom princíp najkratšieho času.

Matematická formulácia

Účinok pre systém v klasickej mechanike je definovaný vzťahom

${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t]\,\mathrm {d} t,$

kde $t$ je čas, $\mathbf {q}$ sú súradnice popisujúce stav systému a $L[\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t]$ je Lagranžián systému závisiaci od času $t$, súradníc $\mathbf {q} (t)$ a rýchlostí ${\dot {\mathbf {q} }}(t)$. Bodkou tu značíme deriváciu veličiny podľa času. Tento Lagranžián je pritom definovaný ako rozdiel kinetickej a potenciálnej energie. Teda napríklad pre bodovú časticu v gravitačnom poli s intenzitou $g$ v smere osi $z$ je to

$L={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz.$