Teória usporiadania

Teória usporiadania je matematická disciplína ktorá sa zaoberá štúdiom binárnych relácií zachytávajúcich intuitívny pojem usporiadania.

Motivácia

Jav usporiadania sa prirodzeným spôsobom vyskytuje skoro všade, obzvlášť v matematike a v informatike. Notoricky známy príklad usporiadania, s ktorým sa možno stretnúť už na základnej škole, je štandardné usporiadanie prirodzených čísel podľa ich veľkosti. Iným príkladom usporiadania z každodenného života je lexikografické usporiadanie slov v slovníku. Zamestnanci spoločnosti alebo vojaci v armáde sú hierarchicky usporiadaní vzťahmi nadriadenosti a podriadenosti.

Niektoré usporiadania majú špeciálnu vlastnosť: ktorý koľvek prvok možno porovnať každým iným prvkom a rozhodnúť či je väčší, menší alebo rovnaký. To spĺňa napríklad usporiadanie čísel alebo usporiadanie slov v slovníku. Vo všeobecnosti ale usporiadanie túto vlastnosť mať nemusí. Napríklad v hierarchii pracovníkov, dvaja kolegovia pracujúci na najnižšej úrovni, ktorí už nemajú ďalších podriadených, nie sú porovnateľní - ani jeden z nich nešéfuje tomu druhému.

V teórii usporiadania sa intuitívny pojem usporiadania formalizuje pomocou binárnych relácií špeciálnych vlastností. To umožňuje skúmať jav usporiadania na veľmi všeobecnej úrovni a nesústrediť sa na nepodstatné aspekty konkrétnych prípadov. Výsledky získané na takejto všeobecnej úrovni potom možno veľmi ľahko aplikovať v konkrétnych situáciach.

Nesmierne častý výskyt usporiadaní v praktických situáciach viedol k definícii množstva usporiadaní so špeciálnymi vlastnosťami. Mnohé z týchto špeciálnych usporiadaní dali neskôr vzniknúť pododvetviam teórie usporiadania. Teória usporiadania sa neobmedzuje len na štúdium vlastností rôznych typov usporiadaní ale skúma aj vzťahy medzi nimi. Jednoduchým príkladom vlastnosti ktorá sa opiera o pojem usporiadania je monotónnoť funkcie, jeden spomedzi základných pojmov reálnej analýzy.

Pozri aj

• Čiastočne usporiadaná množina

Referencie

• B.A. Davey, H.A. Priestley, Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press 2002. ISBN 0521784514