Vektorový súčin

Vektorový súčin je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.

OznačenieUpraviť

Vektorový súčin vektorov   sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov:

  •  
  •   - používaný vo frankofónnych krajinách
  •   - používaný v Rusku
  •  

DefiníciaUpraviť

Vektorový súčin vektorov a a b je definovaný ako vektor kolmý k vektorom a a b s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

 

kde θ je uhol zvieraný vektormi a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory a a b znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin a × b má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin  , tak zložky vektora c možno určiť ako

 
 
 

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako

 

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa

 

Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie

 
 
 
 

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

VlastnostiUpraviť

  • Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže
 
 
 
  • Ak pre dva nenulové vektory   je ich vektorový súčin nulový, čiže  , sú vektory   rovnobežné.
  • Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy i, j, k, tak
 
 
 
  • V uvedenej báze možno vektorový súčin vektorov u, v zapísať pomocou determinantu ako
 

VýpočetUpraviť

Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

a = [a1, a2, a3]

a

b = [b1, b2, b3].

Potom

a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].


PoužitieUpraviť

Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily  , ktorý je definovaný   kde   je polohový vektor pôsobiska sily.

Externé odkazyUpraviť