Vektorový súčin

Vektorový súčin je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.

Označenie

Vektorový súčin vektorov $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov:

• $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$
• $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ - používaný vo frankofónnych krajinách
• $[\mathbf {a} \mathbf {b} ]$ - používaný v Rusku
• $[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ]$

Definícia

Vektorový súčin vektorov a a b je definovaný ako vektor kolmý k vektorom a a b s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta$

kde θ je uhol zvieraný vektormi a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory a a b znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin a × b má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin $\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b}$, tak zložky vektora c možno určiť ako

$c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako

$c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa

$d_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}$

Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie

$d_{23}=-d_{32}=c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$d_{31}=-d_{13}=c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$d_{12}=-d_{21}=c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

$d_{11}=d_{22}=d_{33}=0$

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

Vlastnosti

• Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u}$

• Vynásobením vektorového súčinu číslom a dostaneme

$a(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(a\mathbf {u} )\times \mathbf {v} =\mathbf {u} \times (a\mathbf {v} )$

• Platí distributívny zákon

$\mathbf {u} \times (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} +\mathbf {u} \times \mathbf {w}$

• Ak pre dva nenulové vektory $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ je ich vektorový súčin nulový, čiže $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {0}$, sú vektory $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ rovnobežné.

• Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy i, j, k, tak

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$

$\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}$

$\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}$

• V uvedenej báze možno vektorový súčin vektorov u, v zapísať pomocou determinantu ako

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}$

Výpočet

Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

a = [a₁, a₂, a₃]

a

b = [b₁, b₂, b₃].

Potom

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

Použitie

Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily $\mathbf {M}$, ktorý je definovaný $\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ kde $\mathbf {r}$ je polohový vektor pôsobiska sily.

Externé odkazy

• http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Vektorový súčin