Wishartovo rozdelenie

Wishartovo rozdelenie (iné názvy: Wishartovo pravdepodobnostné rozdelenie, Wishartovo rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Wishartovo rozdelenie je viacrozmerný analóg $\chi ^{2}$-rozdelenia alebo, v prípade neceločísleného počtu stupňov voľnosti, gama rozdelenia.

Wishartovo rozdelenie je jedno z rozdelení pravdepodobnosti, ktoré definujeme cez symetrické, nezáporne definitné matice, ktoré vystupujú ako náhodné premenné (tzv. „náhodné matice“). Rozdelenie je veľmi dôležité pri odhadovaní a získavaní odhadov kovariančných matíc vo viacrozmerných štatistických analýzach.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Johna Wisharta, ktorý prvýkrát v roku 1928 toto rozdelenie popísal.

Definícia

Majme náhodný výber ${\mathbf {X} _{1}},{\mathbf {X} _{2}},\cdots ,{\mathbf {X} _{n}}$ z normálneho $p$-rozmerného rozdelenia s parametrami ${\mathbf {O} }$ a ${\mathbf {\Sigma } }$, teda $N_{p}({\mathbf {O} },{\mathbf {\Sigma } })$. Ďalej nech ${\mathbf {X} }$ je matica typu n  ×  p definovaná nasledovne: ${\mathbf {X} ^{T}}=({\mathbf {X} _{1}},{\mathbf {X} _{2}},\cdots ,{\mathbf {X} _{n}})$. Potom matica ${\mathbf {W} }$ definovaná nasledovným vzťahom:

${\mathbf {W} }={\mathbf {X} ^{T}}{\mathbf {X} }$

má Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti.

Označenie:

• ${\mathbf {W} }\sim {\mathbf {W} _{p}}({\mathbf {\Sigma } },n)$

Vlastnosti

Pokiaľ položíme kovariančnú maticu ${\mathbf {\Sigma } }={\mathbf {I} _{p}}$, tak hovoríme, že Wishartovo rozdelenie má štandardizovaný tvar, teda: $W\sim {\mathbf {W} _{p}}(I_{p},n)$

Pre $p=1$, teda v prípade 1-rozmerného Wishartovho rozdelenia, sa toto rozdelenie zhoduje s $\chi ^{2}$-rozdelením s n stupňami voľnosti vynásobeným disperziou, teda:

$\operatorname {W} \sim W_{1}(\sigma ^{2},n)\sim \sigma ^{2}\chi ^{2}(n)$

Pokiaľ máme maticu ${\mathbf {W} }$, ktorá má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda ${\mathbf {W} }\sim {\mathbf {W} _{p}}({\mathbf {\Sigma } },n)$ a maticu ${\mathbf {A} }$, ktorá je typu p  ×  q, tak matica ${\mathbf {B} }$, ktorú dostaneme prenásobením matice ${\mathbf {W} }$ zľava aj sprava maticou ${\mathbf {A} }$, má tiež Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, ale q-rozmerné a s inou kovariančnou maticou:

${\mathbf {B} }={\mathbf {A} ^{T}}{\mathbf {W} }{\mathbf {A} }\sim {\mathbf {W} _{q}}({{\mathbf {A} ^{T}}{\mathbf {\Sigma } }{\mathbf {A} }},n)$

Zdroje a referencie

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Wishart distribution na anglickej Wikipédii.