Zložené úročenie

Zložené úrokovanie je spôsob pripočítavania úrokov k istine, kedy sa vypočítaný úrok pripočíta na konci úrokovacieho obdobia a v ďalšom období sa úrok vypočíta z tejto navýšenej sumy.^[1].

Teminológia

Dlžníkom sa stávame vtedy, ak od veriteľa (napr. banky) získame pôžičku. V pozícii veriteľa voči banke sa stávame vtedy, ak do nej vložíme svoj kapitál. Cenu, ktorú dlžník zaplatí veriteľovi za požičanie peňazí, vyjadruje úrok. Ten sa určuje ako počet percent (úroková miera) z požičanej sumy za určenú dobu (úrokové obdobie)^[1]. Ak splatíme pôžičku alebo vyberieme z banky vložené peniaze vrátane úroku na konci úrokového obdobia, hovoríme o jednoduchom úrokovaní.

Používané názvoslovie

u = úrok je suma o ktorú sa navýši istina
p = úroková miera vyjadruje počet percent z istiny za úrokové obdobie
S = výsledná suma, ktorú dostaneme po úročení
S₀ = istina, teda počiatočná suma, ktorú si požičiavame (vkladáme)
n = počet úrokových období
úrokové obdobia:
- p. a. = per annum = ročné
- p. s. = per semestre = polročné
- p. q. = per quartale = štvrťročné
- p. m. = per mensem = mesačné
- p. sept. = per septimanam = týždenné
- p. d. = per diem = denné

Výpočet výšky zúročenia

Príklady úročenia vkladu pri n rokoch sporenia:

Na začiatku vložíme vklad a ten vždy na konci úrokového obdobia navýšime o úrok: Keď vieme, že úrok sa počítal ako percentuálny podiel istiny podľa vzorca: u = S₀.(p/100%), a že suma na konci úrokového obdobia sa rovnala S = S₀ + u = S₀ + S₀.(p/100%) = S₀.(1 + (p/100%)). Na konci ďalšieho úrokového obdobia by sme dostali zúročenú sumu na konci prvého úrokového obdobia, teda S = S₀.(1 + (p/100%)).(1 + (p/100%)) = S₀.(1 + (p/100%))². Ak to teda zovšeobecníme na n úrokových období, dostaneme vzorec $S=S_{0}\cdot (1+{\frac {p}{100\%}})^{n}$
Na začiatku každého úrokového obdobia vložíme rovnaký vklad: Pre jednoduchosť predpokladajme, že budeme vkladať 1000€ ročne pri ročnej úrokovej miere 5%. Na konci prvého roku mám 1000.(1 + 0,05). Na začiatku druhého roku sa k tejto sume pripočíta ďalší vklad 1000€, to dáva 1000 + 1000.(1 + 0,05). Na konci druhého roku sa nám znova zúročí celá suma, ktorú máme, teda budeme mať: (1000 + 1000.(1 + 0,05)).(1 + 0,05). Tento spôsob predstavuje súčet členov geometrickej postupnosti, čo vyjadruje aj vzorec na výpočet sumy, ktorú budeme mať na účte po n úrokových obdobiach: $S=S_{0}\cdot q{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ ak $q=(1+{\frac {p}{100\%}})$

Referencie

↑ ^a ^b KUBÁČEK, Zbyněk. Matematika pre druhý ročník gymnázií. Prvá časť. 1. vyd. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana, 2009. 112 s. ISBN 978-80-7158-983-9.

Pozri aj

[2roc-1] KUBÁČEK, Zbyněk. Matematika pre druhý ročník gymnázií. Prvá časť. 1. vyd. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana, 2009. 112 s. ISBN 978-80-7158-983-9.

[1]