Alternatívne rozdelenie

Alternatívne rozdelenie (iné názvy: alternatívne pravdepodobnostné rozdelenie, alternatívne rozdelenie pravdepodobnosti, nula-jednotkové rozdelenie, Bernoulliho rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad binomického rozdelenia.

Rozdelenie opisuje situáciu, v ktorej môžu nastať iba dva prípady, a to, že daná udalosť nastane alebo nenastane. Udalosť nastáva s pravdepodobnosťou p a nenastáva s pravdepodobnosťou (1-p).

Definícia

Diskrétna náhodná premenná $X$ má alternatívne rozdelenie s parametrom $p\in (0,1)$, ak:

• $\operatorname {P} \left(X=1\right)=p$
• $\operatorname {P} \left(X=0\right)=1-p$

Pravdepodobnostná funkcia má pre $k=0,1$ nasledovný tvar:

$p_{k}=\operatorname {P} \left(X=k\right)=p^{k}(1-p)^{1-k}$

Označujeme:

• $\operatorname {X} \sim Alt(p)$

Základné charakteristiky rozdelenia

• Stredná hodnota:

$\operatorname {E} (X)=p$

• Rozptyl:

$\operatorname {D} (X)=p(1-p)$

• Koeficient šikmosti:

$\gamma _{1}={\frac {1-2p}{\sqrt {p(1-p)}}}$

• Koeficient špicatosti:

$\gamma _{2}={\frac {1-6p(1-p)}{p(1-p)}}$

• Momentová vytvárajúca funkcia:

$m(t)=p\mathrm {e} ^{t}+(1-p)$

Zdroj

• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. (Ekonómia.) ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenie v poisťovníctve, s. 261.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Základné rozdelenia diskrétnych náhodných veličín a ich stredné hodnoty, s. 150.