Banachova veta o pevnom bode

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

DefinícieUpraviť

Pevný bodUpraviť

Bližšie informácie v hlavnom článku: Pevný bod

Nech   je zobrazenie. Bod   nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak  .

Kontraktívne zobrazenieUpraviť

Bližšie informácie v hlavnom článku: Kontrakcia (matematika)

Nech   je metrický priestor, nech  . Nech   je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L,   taká, že pre všetky   platí

 

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre  .

Znenie vetyUpraviť

Nech   je úplný metrický priestor. Nech   je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod  . Navyše, pre každé   platí   pre   (symbol   označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí  .

DôkazUpraviť

Existencia pevného boduUpraviť

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

 

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

 

Keďže

 

je postupnosť   fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru   potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

 

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného boduUpraviť

Sporom. Nech   sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

 

z čoho  , čo je spor.

Rýchlosť konvergencieUpraviť

Tvrdenie

 

dokážeme matematickou indukciou:

  1. Nech  . Potom z kontraktívnosti f:
     
  2. Nech tvrdenie platí pre  . Ukážeme, že platí aj pre  :
     

AplikácieUpraviť

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

LiteratúraUpraviť

  • Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004.
  • Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Externé odkazyUpraviť