Cyklometrická funkcia

Cyklometrická funkcia je matematická funkcia inverzná ku funkciám goniometrickým.

Definícia

Medzi cyklometrické funkcie patria:

• Arkus sínus ($\arcsin$)
• Arkus kosínus ($\arccos$)
• Arkus tangens ($\operatorname {arctg}$)
• Arkus kotangens ($\operatorname {arccotg}$)

Aby mohla k ľubovoľnej funkcii existovať inverzná funkcia, daná funkcia musí byť prostá, to znamená: rôznym dvom prvkom musí priraďovať dve rôzne hodnoty. Goniometrické funkcie sú ale periodické, a teda nie sú prosté. Preto ak chceme uvažovať o cyklometrických funkciách musíme najskôr ošetriť ich definičný obor a taktiež aj definičné obory goniometrických funkcií – to znamená, že musíme vybrať len tú podmnožinu definičného oboru danej goniometrickej funkcie, na ktorej je prostá.

Definičné obory cyklometrických a goniometrických funkcií

Goniometrické funkcie	Cyklometrické funkcie
Sínus: $\sin(x)$ pre $x\in \mathbb {R}$	Arkus sínus: $\arcsin(x)$ pre $x\in <-1;1>$
Cosínus: $\cos(x)$ pre $x\in \mathbb {R}$	Arkus cosínus: $\arccos(x)$ pre $x\in <-1;1>$
Tangens: $\operatorname {tg} (x)$ pre $x\in \mathbb {R} -\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \};k\in \mathbb {Z}$	Arkus tangens: $\operatorname {arctg} (x)$ pre $x\in R$
Cotangens: $\operatorname {ctg} (x)$ pre $x\in \mathbb {R} -\{k\pi \};k\in \mathbb {Z}$	Arkus cotangens: $\operatorname {arcctg} (x)$ pre $x\in R$

Vzťahy medzi cyklometrickými a goniometrickými funkciami

sin a arcsin

$\arcsin(\sin x)=x\!$, ak platí $\ |x|\leq {\frac {\pi }{2}}$

$\sin(\arcsin x)=x\!$, ak platí $\ |x|\leq 1$

cos a arccos

$\arccos(\cos x)=x\!$, ak platí $\ 0\leq x\leq \pi$

$\cos(\arccos x)=x\!$, ak platí $\ |x|\leq 1$

tg a arctg

$\operatorname {arctg} (\operatorname {tg} x)=x\!$, ak platí $\ |x|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} x)=x\!$

cotg a arccotg

$\operatorname {arccotg} (\operatorname {cotg} x)=x\!$, ak platí $\ 0<x<\pi$

$\operatorname {cotg} (\operatorname {arcotg} x)=x\!$

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami

$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\operatorname {arccotg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} x$

$\operatorname {arccotg} x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} x$

Pre $x>0$ platí

$\operatorname {arccotg} x=\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}$

Pre $x<0$ platí

$\operatorname {arccotg} x=\pi +\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}$

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami so vzájomne opačnými argumentmi

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\!$

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!$

$\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\!$

$\operatorname {arccotg} (-x)=\pi -\operatorname {arccotg} x\!$

Súčty a rozdiely cyklometrických funkcií

arcsin x + arcsin y

$\arcsin x+\arcsin y=\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}],$ ak platí $\ xy\leq 0$ alebo $x^{2}+y^{2}\leq 1$

$\arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}],$ ak platí $\ x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}],$ ak platí $\ x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1$

arcsin x - arcsin y

$\arcsin x-\arcsin y=\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}],$ ak platí $\ xy\geq 0$ alebo $x^{2}+y^{2}\leq 1$

$\arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}],$ ak platí $\ x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin[x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}],$ ak platí $\ x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1$

arccos x + arccos y

$\arccos x+\arccos y=\arccos[xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}],$ ak platí $\ x+y\geq 0$

$\arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos[xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}],$ ak platí $\ x+y<0$

arccos x - arccos y

$\arccos x-\arccos y=-\arccos[xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}],$ ak platí $\ x\geq y$

$\arccos x-\arccos y=\arccos[xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}],$ ak platí $\ x<y$

arctg x + arctg y

$\operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} y=\operatorname {arctg} \,{\frac {x+y}{1-xy}},$ ak platí $\ xy<1$

$\operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} y=\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {x+y}{1-xy}},$ ak platí $\ x>0,xy>1$

$\operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} y=-\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {x+y}{1-xy}},$ ak platí $\ x<0,xy>1$

arctg x - arctg y

$\operatorname {arctg} x-\operatorname {arctg} y=\operatorname {arctg} {\frac {x-y}{1+xy}},$ ak platí $\ xy>-1$

$\operatorname {arctg} x-\operatorname {arctg} y=\pi +\operatorname {arctg} {\frac {x-y}{1+xy}},$ ak platí $\ x>0,xy<-1$

$\operatorname {arctg} x-\operatorname {arctg} y=-\pi +\operatorname {arctg} {\frac {x-y}{1+xy}},$ ak platí $\ x<0,xy<-1$

arccotg x + arccotg y

$\operatorname {arccotg} x+\operatorname {arccotg} y=\operatorname {arccotg} {\frac {xy-1}{x+y}},$ ak platí $\ x>-y$

$\operatorname {arccotg} x+\operatorname {arccotg} y=\operatorname {arccotg} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,$ ak platí $\ x<-y$

arcsin x + arccos x

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},$ ak platí $\ |x|\leq 1$

arctg x + arccotg x

$\operatorname {arctg} x+\operatorname {arccotg} x={\frac {\pi }{2}}$

Vyjadrenie cyklometrických funkcií v logaritmickom tvare

Cyklometrické funkcie sa dajú tiež vyjadriť použitím logaritmov a komplexných čísel:

${\begin{aligned}\arcsin x&{}=-i\,\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{}\\\arccos x&{}=-i\,\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{}\\\operatorname {arctg} x&{}={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-i\,x\right)-\log \left(1+i\,x\right)\right)=\operatorname {arccotg} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arccotg} x&{}={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)=\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}$

Pozri aj

• Goniometrické funkcie

Literatúra

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
• Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání