Lineárne zobrazenie

Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory prípadne .

DefiníciaUpraviť

Nech   sú vektorové priestory nad telesom  . Zobrazenie   sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:

 

PríkladUpraviť

Zobrazenie   nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)
 
 

Tu ale neplatí  , pretože  . Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazeniaUpraviť

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak   je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať

 

Vektor   je chápaný ako matica  . Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice   je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru)  . Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu  . Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti

 

kde vektor   je k-ty jednotkový vektor a   je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

PríkladUpraviť

Nájdime maticu   lineárneho zobrazenia  , ktoré ku každému vektoru   priradí jeho  -násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).

 
 

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom

 
 

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory   ortonormálnej bázy priestoru  , keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj  -násobok, teda

 
 

Matica tohto lineárneho zobrazenia je

 

Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru   dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia   je jeho  -násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom

 

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazeníUpraviť

Zobrazenie Matica zobrazenia
 -násobok vektora  
rotácia roviny o uhol    
osová súmernosť podľa osi x  
osová súmernosť podľa osi y  
kolmá projekcia na os x  

Základná veta o lineárnych zobrazeniachUpraviť

Nech   je ľubovolná báza vektorového priestoru   a nech   sú ľubovolné vektory priestoru  . Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie   pre ktoré platí:   ,   , ... ,  

LiteratúraUpraviť

  • Chalmovianský. P: Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2010, s. 2-5
  • Zlatoš. P: Lineárna algebra a geometria. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2011, s. 122-134