Projekčná matica (matematika)

Projekčná matica (alebo skrátene tiež projektor) je v lineárnej algebre a matematickej analýze lineárne zobrazenie (lineárny operátor) , ktoré je symetrické a idempotentné. Ide o štvorcovú maticu rozmeru . Tieto matice majú okrem lineárnej algebry veľký význam napríklad aj v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože vďaka nim vieme vyjadrovať projekcie vektorov na rôzne lineárne podpriestory.

DefiníciaUpraviť

Majme lineárny podpriestor  . Maticu   nazývame projektorom (projekčnou maticou) na tento lineárny podpriestor   práve vtedy, ak sú splnené nasledovné podmienky:

  1. Matica   je symetrická, teda:  
  2. Matica   je idempotentná, teda:  
  3. Projekčná matica   zobrazí každý vektor do daného lineárneho podpriestoru, teda:  :  
  4. Každý prvok, ktorý už leží v danom podpriestore   zobrazí projekčná matica na ten istý prvok, teda:  

Ďalšie vlastnostiUpraviť

Uvažujme projektor   definovaný v definícii vyššie. Ak preň platí ešte nasledovná podmienka:

 

tak hovoríme, že daný projektor je ortogonálny vzhľadom na uvedený skalárny súčin.

Pokiaľ máme maticu  , ktorá je typu  , pričom jej hodnosť je  , tak potom matica   určená nasledovným vzťahom:

 

je ortogonálny projektor na podpriestor  , ktorý je generovaný lineárne nezávislými stĺpcami matice  , a na ktorom je definovaný skalárny súčin  .

ZdrojUpraviť

  • ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Vybrané partie z matematiky, s. 288.
  • Projection Matrix [online]. mathworld.wolfram.com, [cit. 2013-10-19]. Dostupné online. (po anglicky)
  • HARMAN, Radoslav. Mnohorozmerné štatistické analýzy [online]. Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky UK v BA, 2013-03-06, [cit. 2013-10-20]. Dostupné online.