Otvoriť hlavné menu
Rovnobežník

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé stranyrovnobežné a majú rovnakú dĺžku. Súčet susedných uhlov je 180°.

VlastnostiUpraviť

Rovnobežník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 uhly, ktorých súčet je   (360°). Z rovnobežnosti protiľahlých strán vyplýva, že veľkosť protiľahlých strán je rovnaká, tzn.

 

Z toho vyplýva, že aj veľkosť protiľahlých uhlov má rovnakú veľkosť, tzn.

 

Pretože  , platí

 

Všeobecne má rovnobežník rôznu veľkosť priľahlých strán, t. j.  , a uhly rôzne od pravých uhlov, t. j.  . Ak sú priľahlé strany rovnako veľké, t. j.  , nazývame taký rovnobežník kosoštvorcom. Ak sú uhly pravé, t. j.  , nazývame taký rovnobežník obdĺžnikom. Rovnobežník, ktorý je kosoštvorcom a obdĺžnikom zároveň nazývame štvorcom.

Uhlopriečky rovnobežníka sa vzájomne rozpoľujú. Dĺžky uhlopriečok sú:

 
 

ObsahUpraviť

Obsah rovnobežníka je rovný:

 ,

kde   a   sú dĺžky priľahlých strán rovnobežníka a   je výška k strane  , obdobne   je výška k strane  ,   je vnútorný uhol medzi priľahlými stranami.

V rovineUpraviť

Ak sú vrcholy   zadané pomocou súradníc v rovine, t. j.  ,  , atď, je obsah rovnobežníka rovný absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:

 

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol   s počiatkom súradnicového systému, t. j.  , potom teda:

 

Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru, resp. nadobjem ľubovolného   – rozmerného nadrovnobežnostenu (v   – rozmernom priestore).

V trojrozmernom priestoreUpraviť

Ak sú vrcholy   zadané pomocou súradníc v priestore, t. j.  ,  , atď, a zavedieme ak stranové vektory

 

je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora  , kde „ “ značí vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:

 

kde „ “ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi  , t. j.

 

potom:

 

čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol   s počiatkom súradnicového systému, t. j.  , potom

 

vo všeobecnom prípade , respektíve:

 

v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi  .

Zovšeobecnením vektorového súčinu do   – rozmerného priestoru (ide o o súčin   lineárne nezávislých vektorov dĺžky  , ktorého výsledkom je vektor kolmý na všetky predchádzajúce, tvoriace s nimi, v danom poradí, pravotočivou bázou) možno úplne analogicky spočítať nadobsah ľubovoľného   – rozmerného nadrovnobežníka v   – rozmernom priestore.

V n-rozmernom (reálnom) priestoreUpraviť

Ak je rovnobežník daný dvoma postrannými vektormi v všeobecnom reálnom   – rozmernom priestore

 

potom jeho obsah je daný vzťahom:

 

kde „ “, resp . „ “ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

dosadením:

 

opäť dostávame známy vzťah pre obsah rovnobežníka v rovine.

Pozri ajUpraviť

ZdrojUpraviť

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Rovnoběžník na českej Wikipédii.