Otvoriť hlavné menu

Studentovo rozdelenie

(Presmerované z T-rozdelenie)

Studentovo rozdelenie (iné názvy: Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.

DefiníciaUpraviť

Nech   je náhodná premenná, nech   je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná   má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s   stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

 

pre  . Označenie   označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

 

Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:

 

Beta funkciu vo vzorci označuje   a môžeme ju vyjadriť nasledovne:

 

Označenie:

  •  
  •  

Ďalšie vyjadreniaUpraviť

Náhodnú premennú  , ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má  -rozdelenie, a to nasledovne:

Majme dve náhodné premenné:   a  , pričom   má normálne normované rozdelenie a   -rozdelenie s   stupňami voľnosti, teda:   a  , pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná   definovaná vzťahom:

 

má Studentovo rozdelenie s   stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber   z normálneho rozdelenia  . Nech  . Potom náhodná premenná  , ktorú definujeme nasledovným vzťahom:

 

má Studentovo rozdelenie s   stupňami voľnosti.

Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:
Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda:   a   z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber   je z rozdelenia   a náhodný výber   je z rozdelenia   (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech   a   sú výberové priemery a   a   sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:

 

má Studentovo rozdelenie s   stupňami voľnosti. Premenná   vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:

 

VlastnostiUpraviť

Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode  . Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

 

pre  .

Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:

  • Ak  , potom:  
  • Ak  , potom  

Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:

 

Kritická hodnotaUpraviť

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech   je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s   stupňami voľnosti. Potom hodnotu  , ktorú náhodná premenná   v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou   nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

 

ZdrojeUpraviť

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Student's t-distribution na anglickej Wikipédii.