Banachov priestor

Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor $V$ nad poľom reálnych alebo komplexných čísel s normou $\|.\|$, v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike $d(x,y)=\|x-y\|$ limitu.

Príklady

• Priestory $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ definujeme euklidovskú normu

$\|x\|:={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}},$

kde $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.

• Priestor všetkých spojitých funkcií $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ s normou

$\|f\|_{\infty }:=\max _{t\in [a,b]}|f(t)|$

je Banachov.

• Pokiaľ na predchádzajúcom priestore definujeme normu

$\|f\|_{1}:=\int _{a}^{b}|f(t)|dt$ alebo $\|f\|_{2}:={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}dt}},$

daný priestor už Banachov priestor nebude.

• Ak X je normovaný lineárny priestor a Y je Banachov priestor, potom priestor všetkých obmedzených lineárnych operátorov z X do Y s normou

$\|A\|:=\sup\{\|Ax\|:x\in X,\|x\|\leq 1\}$

je Banachov priestor. Špeciálne, duálny priestor X* k priestoru X je vždy Banachov, keďže v tomto prípade $Y=\mathbb {C}$.

• Ak X je Banachov priestor, tak aj ľubovoľný jeho uzavretý podpriestor je Banachov priestor.

Pozri aj

• Hilbertov priestor
• Lebesgueov priestor

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Banachův prostor na českej Wikipédii.

Externé odkazy

• Banachov priestor - Wolfram MathWorld (po anglicky).