Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia upraviť

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor   nad poľom reálnych alebo komplexných čísel s normou  , v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike   limitu.

Príklady upraviť

  • Priestory   a   (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch   a   definujeme euklidovskú normu
 
kde  , budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.
  • Priestor všetkých spojitých funkcií   s normou
 
je Banachov.
  • Pokiaľ na predchádzajúcom priestore definujeme normu
  alebo  
daný priestor už Banachov priestor nebude.
 
je Banachov priestor. Špeciálne, duálny priestor X* k priestoru X je vždy Banachov, keďže v tomto prípade  .
  • Ak X je Banachov priestor, tak aj ľubovoľný jeho uzavretý podpriestor je Banachov priestor.

Pozri aj upraviť

Zdroj upraviť

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Banachův prostor na českej Wikipédii.

Externé odkazy upraviť