Doplnenie na štvorec

Doplnenie na štvorec alebo doplnenie do štvorca[1] je úloha z oblasti matematickej analýzy, pri ktorej podstatou je zmena polynómu 2. stupňa, teda kvadratického trojčlena na tvar štvorca.

Animácia, znázorňujúca proces dopĺňania na štvorec. (GIF verzia)

Využíva sa rovnosť: ktorá platí za predpokladu, že pre každé číslo .

Dôkaz rovnostiUpraviť

Stačí spočítať štvorec (čiže druhú mocninu) na pravej strane.

 

V praxi sa obyčajne nepoužíva uvedený vzorec, akoby sme ho vedeli naspamäť.

PríkladyUpraviť

1). Upravte na štvorec kvadratický polynóm  . A teda platí  , pričom rovnosť nastáva práve keď  . V prvom kroku sme použili sčítanec   preto, že sme chceli dostať  .

2). O niečo komplikovanejším výpočtom dostaneme výsledok ak upravujeme výraz   pre všetky  . Pritom   práve vtedy, keď  .

3). Podobne   pre každé  , pričom rovnosť   platí práve vtedy a len vtedy, keď  .

Všeobecne ak  , tak číslo   je najmenšie pre  , pričom pre   je  .

4). Chceme nájsť také číslo  , aby   bolo najmenšie, počítame  . Vidíte, že   je najmenšie, keď  . Ak  , tak  .

ReferencieUpraviť

  1. EISENREICH, Günther; SUBE, Ralf, a kol. Matematika: anglicko-nemecko-francúzsko-rusko-slovenský slovník. 1. vyd. Bratislava : Alfa, 1982.

ZdrojUpraviť

  • I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 60-62

Pozri ajUpraviť